圆与直线

Circle and Line

圆与直线相遇只有三种方式。圆心到直线的距离小于半径时在两点相交（割线），恰好等于半径时相切于一点（切线），大于半径时则不相交。切线在切点处与半径垂直，从圆外一点所引的两条切线长度相等。拖动距离滑块，就能看到割线变为切线、再到不相交的那一刻。

圆与直线的位置关系

距离 d80

📏 位置关系的判别

①d < r → 相交于2点（割线）

②d = r → 相切于1点（切线）

③d > r → 不相交

④弦长 = 2√(r²−d²)

切线的性质

P点的位置20°

✨ 切线的核心性质

①切线在切点处与半径垂直（OT ⊥ PT）

②圆外一点引出的两切线长相等（PA = PB）

③切线长 = √(OP²−r²)（勾股定理）

弦的垂直平分线

弦的性质

圆心向弦所作的垂线 → 平分弦

圆心到弦的垂线 = 弦的垂直平分线

弦长

弦长 = 2√(r² − d²)

d = 圆心到弦的距离

💡 关于弦的定理

①圆心等距的两弦长相等

②较长的弦更接近圆心

③最长弦 = 直径（d = 0）

切线与弦所成的角

切线-弦角

切线与弦所成的角 = 该弦所对的圆周角

切线角定理（切线与弦的夹角）

📐 切线角的应用

①切线与弦的夹角等于圆周角

②求角度的常考题

③等于对侧弧上的圆周角

动手解题

例题 1

半径为5的圆中, 求圆心到其距离为3的弦的长。

弦长 = 2√(r²−d²), r=5, d=3。

弦 = 2√(5²−3²)

= 2√16 = 2·4 = 8。

= 2√16 = 8

▸ 8

圆心到弦的垂线平分弦 → 直角三角形 + 勾股定理。

例题 2

从圆外一点P向圆引切线, 求切线长。(OP=13, 半径 r=5)

切线长 = √(OP²−r²), OP=13, r=5。

切线 = √(13²−5²)

= √(169−25) = √144 = 12。

= √144 = 12

▸ 12

切线 ⊥ 半径, 构成直角三角形 → 勾股定理。

考试要点整理

圆与直线核心

切线 ⊥ 半径、PA = PB、弦长 = 2√(r²−d²)

记住这三大核心性质

初三内考类型

从圆外一点P引两条切线, 切点分别为A、B。若 ∠APB=50°, 求 ∠AOB 的大小。(O为圆心)

①110°

②120°

③130°

④140°

⑤150°

▸ ③ 130°

切线 ⊥ 半径, 故 ∠OAP=∠OBP=90°。

∠OAP = ∠OBP = 90°

四边形PAOB内角和为360°, 故 ∠AOB = 360−90−90−50 = 130°。

∠AOB = 360−90−90−50 = 130°

🎯 考试要点

①切线 ⊥ 半径 → 直角三角形 → 勾股定理

②外一点引出的两条切线长相等: PA=PB

③弦的垂直平分线必经过圆心

④切线与割线: 应用切割线定理（幂的定理）

⑤圆外切四边形: 对边之和相等