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初中三年级 (14-15岁)

初中数学 圆与直线

圆与直线的位置关系只有三种，属于哪一种，只要比较圆心到直线的距离 d 和半径 r 就能确定。 d 小于 r 时直线与圆交于两点，d = r 时只在一点相切，d 大于 r 时没有公共点。 与圆只有一个公共点的直线叫切线，它在切点处总与半径垂直，所以半径、切线和到圆心的线段组成一个直角三角形。 借助这个直角三角形，既能说明从圆外一点引的两条切线长相等，也能用勾股定理求出切线长。

直线与圆的位置关系

80
📏 用 d 和 r 判断
①d < r 时直线与圆交于两点，这条直线叫割线，两个交点之间的线段叫弦。
②d = r 时只有一个公共点，直线是切线。
③d > r 时没有公共点。
④相交时弦长是 2√(r² − d²)。图中半径是 80，把 d 调到 80 就成为切线，把 d 调到 0，弦就是直径 160。

切线的性质

140
✨ 切线的两条性质
①切线垂直于过切点的半径（OA ⊥ PA）。
②所以 △OAP 与 △OBP 是共用斜边 OP、且 OA = OB 的直角三角形，它们全等，从圆外一点引的两条切线长相等（PA = PB）。
③由勾股定理，切线长是 √(OP² − r²)。在图中把 OP 拉长，两条切线一起变长，而且始终相等。

弦的垂直平分线

弦的性质
从圆心向弦作垂线，垂线平分这条弦
反过来，弦的垂直平分线经过圆心。
弦长
弦长 = 2√(r² − d²)
d 是圆心到弦的距离。
💡 关于弦的定理
①到圆心距离相等的两条弦长度相等；反过来，长度相等的两条弦到圆心的距离也相等。
②离圆心越近的弦越长。
③最长的弦是经过圆心的直径（d = 0）。

切线与弦所成的角

弦切角
弦切角 = 它所夹的弧所对的圆周角
这条性质与下一单元的圆周角相连。
📐 怎样使用这条性质
①圆的切线与过切点的弦所成的角，等于它所夹的弧所对的圆周角。
②所以可以把切线一侧的角转移成圆内的圆周角来计算。
③转移角时，一定要确认两个角对着同一段弧。

例题演练

例题 1
半径为5的圆中，求圆心到其距离为3的弦的长。
1
从圆心向弦作的垂线平分弦，所以半径 5、距离 3 和半弦组成直角三角形。
弦 = 2√(5²−3²)
2
半弦是 4，所以弦长是它的 2 倍。
= 2√16 = 8
▸ 8
从圆心向弦作垂线就得到直角三角形，用勾股定理即可求出弦长。
例题 2
从圆外一点P向圆引切线，求切线长。（OP=13，半径 r=5）
1
切线垂直于半径，所以利用以 OP 为斜边的直角三角形。
切线 = √(13²−5²)
2
求 13² − 5² = 169 − 25 = 144 的平方根。
= √144 = 12
▸ 12
切线长等于 √(OP² − r²)。

考点整理

圆与直线的要点
切线 ⊥ 半径 · PA = PB · 弦长 = 2√(r² − d²)
这三条性质最后都归结到直角三角形和勾股定理。
初三 内考类型
从圆外一点P引两条切线，切点分别为A、B。若 ∠APB=50°, 求 ∠AOB 的大小。（O为圆心）
①110°
②120°
③130°
④140°
⑤150°
▸ ③ 130°
1
切线垂直于过切点的半径，所以 ∠OAP = ∠OBP = 90°。
∠OAP = ∠OBP = 90°
2
用四边形 PAOB 的内角和 360° 减去其余三个角。
∠AOB = 360−90−90−50 = 130°
🎯 考点
①由切线垂直于半径找出直角三角形，再用勾股定理。
②从圆外一点引的两条切线长相等（PA = PB）。
③弦的垂直平分线经过圆心。
④从圆外一点引的两条切线所成的角，与两条半径所成的圆心角之和是 180°。
⑤弦长由它到圆心的距离决定。
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