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初中三年级 (14-15岁)

初中数学 圆周角

从圆上一点 P 看圆上另外两点 A、B 所成的角 ∠APB，叫做弧 AB 所对的圆周角。 圆周角的大小恰好是同一段弧所对圆心角 ∠AOB 的一半，并且点 P 在同侧的弧上无论移到哪里，圆周角都不变。 所以直径所对的圆周角是圆心角 180° 的一半，即 90°；圆内接四边形的对角之和是 180°。 在第一幅图中把点 P 沿圆移动，线段的倾斜方式在变，但 P 处标出的角大小始终不变。

圆心角与圆周角

80
30
👀 圆周角与圆心角的关系
①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
②反过来，圆心角是圆周角的 2 倍。
③只要点 P 在同侧的弧上，P 移到哪里圆周角都相等。图中把圆心角设为 80°，移动 P 时圆周角始终是 40°。

同弧所对的圆周角都相等

100
🔑 圆周角的性质
①在同圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等。
②半圆（即直径）所对的圆周角是 90°。
③改变弧的大小，三个点的圆周角会一起变化，而且始终相等。

直径所对的圆周角

半圆所对的圆周角
直径 AB 所对的圆周角 ∠APB = 90°
直径所对的圆心角是 180°，所以圆周角是它的一半 90°。
📐 直径与直角
①把圆上一点与直径的两端相连，这个点处的角总是直角。
②反过来，90° 的圆周角所对的弦是直径。
③所以直角三角形的斜边，是经过它三个顶点的圆的直径。

圆内接四边形

圆内接四边形的性质
对角之和 = 180°
两个对角所对的弧合起来是整个圆（圆心角 360°）。
外角的性质
一个外角 = 它的内对角
一个顶点处的外角等于与该顶点相对的内角。
💡 圆内接四边形的应用
①圆内接四边形 ABCD 中，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
②反过来，对角互补的四边形可以内接于圆。
③从同侧看同一条线段的两个角相等时，这四个点在同一个圆上。

例题演练

例题 1
某弧所对的圆心角为100°, 求同弧所对的圆周角的大小。
1
圆周角等于同弧所对圆心角的一半。
圆周角 = 圆心角 ÷ 2
2
把圆心角 100° 除以 2。
= 100° ÷ 2 = 50°
▸ 50°
同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
例题 2
对于直径AB和圆上一点P, 求 ∠APB 的大小。
1
直径 AB 所对的圆心角是 180°。
圆心角 = 180°
2
圆周角是它的一半。
∠APB = 180° ÷ 2 = 90°
▸ 90°
直径所对的圆周角总是 90°。

考点整理

圆周角的要点
圆周角 = 圆心角 ÷ 2 · 同弧 → 圆周角相等 · 直径 → 90°
大多数圆周角问题都能用这三条性质之一解决。
初三 内考类型
某弧所对的圆周角为35°, 则同弧所对的圆心角是？
①17.5°
②35°
③55°
④70°
⑤145°
▸ ④ 70°
1
圆心角是圆周角的2倍。
圆心角 = 圆周角 × 2
2
= 35° × 2 = 70°。
= 35° × 2 = 70°
🎯 考点
①圆周角等于同弧所对圆心角的一半。
②同弧所对的圆周角与点的位置无关，都相等。
③直径所对的圆周角是 90°。
④圆内接四边形的对角之和是 180°。
⑤很多题作直径作为辅助线、构造直角后就能解决。
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