圆周角

Inscribed Angle

圆周角是从圆上一点望向两点时形成的角。对着同一条弧的圆周角，无论从哪里看大小都相同，而且恰好是该弧所对圆心角的一半。特别地，对着直径的圆周角总是90°，能帮我们轻松找出圆内的直角三角形。在本页拖动圆上的点，亲眼确认圆周角为什么始终不变。

圆心角与圆周角的关系

圆心角 (°)80

点 P 的位置30°

👀 核心关系

①同弧所对的圆周角 = 圆心角的一半

②圆心角 = 圆周角 × 2

③不论 P 在弧上何处，圆周角都相同（同弧上）

同弧所对的圆周角都相等

弧的大小 (°)100

🔑 圆周角的性质

①同弧（或同弦）所对的圆周角都相等

②半圆的圆周角 = 90°（直径所对的圆周角）

③圆周角最强大的性质！

半圆所对的圆周角

半圆的圆周角

直径 AB 所对的圆周角 ∠APB = 90°

直径所对的圆周角恒为直角

📐 半圆定理的应用

①直径 → 圆周角 90°（泰勒斯定理）

②反之: 圆周角为90°时该弦是直径

③直角三角形斜边 = 外接圆的直径

圆内接四边形

内接四边形性质

对角之和 = 180°

圆内接四边形对角之和

外角性质

外角 = 内对角

一个顶点的外角 = 对面的内角

💡 内接四边形应用

①∠A + ∠C = 180°、∠B + ∠D = 180°

②反之: 对角和=180° ⇒ 内接

③同一边两侧圆周角相等 ⇒ 共圆

动手解题

例题 1

某弧所对的圆心角为100°, 求同弧所对的圆周角的大小。

圆周角是圆心角的一半。

圆周角 = 圆心角 ÷ 2

= 100° ÷ 2 = 50°。

= 100° ÷ 2 = 50°

▸ 50°

同弧所对的圆周角是圆心角的一半。

例题 2

对于直径AB和圆上一点P, 求 ∠APB 的大小。

直径所对的角对应圆心角为180°。

圆心角 = 180°

圆周角 = 180° ÷ 2 = 90°。

∠APB = 180° ÷ 2 = 90°

▸ 90°

直径所对的圆周角恒为90°（泰勒斯定理）。

考试要点

圆周角核心

圆周角 = 圆心角/2、同弧→同圆周角、直径→90°

三大性质

初三内考类型

某弧所对的圆周角为35°, 则同弧所对的圆心角是？

①17.5°

②35°

③55°

④70°

⑤145°

▸ ④ 70°

圆心角是圆周角的2倍。

圆心角 = 圆周角 × 2

= 35° × 2 = 70°。

= 35° × 2 = 70°

🎯 考试要点

①圆周角 = 圆心角 ÷ 2（基础）

②同弧的圆周角与位置无关相等

③直径所对圆周角 = 90°

④内接四边形对角和 = 180°

⑤辅助线: 作直径制造直角