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我的单词本
初中三年级 (14-15岁)

代表值与离散程度

Mean, Median, Mode & Standard Deviation

考试一下子就出来30个人的分数,而把这一大堆数字浓缩成一个的就是代表值。 除了最常用的平均数,还有排序后位于正中间的中位数,以及出现次数最多的众数,可按情况选用。 表示数据离平均有多分散的是离散程度,用偏差平方求平均得到方差,再开根就是标准差。 在本页用滑块改变离散程度和异常值,看看异常值为何能大幅拉动平均,却几乎不影响中位数。

直观引入 -- 用一个数字概括数据
1.5
👀 为什么需要代表值
①考试有30人的分数
②30个数字记不住
③用1个数字概括 → 代表值
④平均数、中位数、众数 -- 哪种情况用哪个?
三种代表值
平均数(mean)
x̄ = x1 + x2 + ... + xnn
所有值之和除以个数。最常用的代表值
中位数(median)
按大小排序 → 中间位置的值
n 偶数时取中间两数平均。受极端值影响较小
众数(mode)
出现次数最多的值
可以有多个。适用于分类数据(颜色、性别)
💡 具体例子
①5人分数:60, 70, 70, 80, 100
②平均数 =(60+70+70+80+100)/5 = 76
③中位数 = 第3个 = 70(排序后中间)
④众数 = 70(出现2次最多)
⑤平均(76)≠ 中位数(70)-- 100分把平均拉高了!
异常值与代表值选择
80
⚠️ 有异常值时
①极大或极小的值 = 异常值
②有异常值平均会大幅偏离
③但中位数几乎不变
④例:年薪平均高是因少数高薪 → 中位数更实际
⑤考试:「有极端值时适合的代表值?」→ 中位数!
离散程度 -- 偏差、方差、标准差
偏差
偏差 =(变量)-(平均)
各值与平均的距离。偏差之和必为 0!
方差
V = (偏差)21 + (偏差)22 + ... + (偏差)2nn
偏差平方的平均。平方原因:偏差之和为0
标准差
σ = √V = √(方差)
方差开根回到原单位
🔍 为何要平方?
①偏差求和 + 与 - 抵消恒为0
②先平方都变正再求平均
③即方差 V
④方差单位(分)²难解释
⑤开根回到原单位(分)就是标准差
动手解题
例题 1
求数据 1, 3, 5, 7, 9 的中位数。
1
把数据按大小排列(已排序)。
1, 3, 5, 7, 9
2
共5个(奇数), 中位数为正中间的第3个值。
中位数 = 5
5
奇数个取中间值, 偶数个取中间两值的平均。
例题 2
求数据 1, 3, 5 的方差。
1
先求平均数: (1+3+5)/3 = 3。
平均 = (1+3+5)/3 = 3
2
求偏差平方的平均: ((−2)²+0²+2²)/3。
方差 = (4+0+4)/3 = 8/3
8/3
方差 = 偏差平方的平均。偏差 = 变量 − 平均。
考试要点整理
离散程度核心
V = Σ(偏差)2n, σ = √V
标准差越小数据越集中于平均附近
初三 内考类型
五个变量 5, 6, 8, 9, x 的平均数为7, 求 x 的值。
5
6
7
8
9
③ 7
1
平均 = 总和 ÷ 个数, 故 总和 = 7 × 5 = 35。
5+6+8+9+x = 35
2
28 + x = 35, 故 x = 7。
28+x=35 ⇒ x=7
🎯 考试要点
①偏差之和 = 0(恒成立 -- 用于验算)
②方差 = 偏差平方均值,标准差 = √方差
③标准差小 → 数据集中
④有极端值用中位数代替平均
⑤方差单位为原单位平方,标准差与原单位相同
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