初三数学›统计

代表值与离散程度

Mean, Median, Mode & Standard Deviation

直观引入 -- 用一个数字概括数据
1.5
👀 为什么需要代表值
①考试有30人的分数
②30个数字记不住
③用1个数字概括 → 代表值
④平均数、中位数、众数 -- 哪种情况用哪个?
三种代表值
平均数（mean）
\bar{x} = x1 + x2 + ... + xnn
所有值之和除以个数。最常用的代表值
中位数（median）
按大小排序 → 中间位置的值
n 偶数时取中间两数平均。受极端值影响较小
众数（mode）
出现次数最多的值
可以有多个。适用于分类数据（颜色、性别）
💡 具体例子
①5人分数：60, 70, 70, 80, 100
②平均数 =（60+70+70+80+100）/5 = 76
③中位数 = 第3个 = 70（排序后中间）
④众数 = 70（出现2次最多）
⑤平均（76）≠ 中位数（70）-- 100分把平均拉高了!
异常值与代表值选择
80
⚠️ 有异常值时
①极大或极小的值 = 异常值
②有异常值平均会大幅偏离
③但中位数几乎不变
④例：年薪平均高是因少数高薪 → 中位数更实际
⑤考试：「有极端值时适合的代表值?」→ 中位数!
离散程度 -- 偏差、方差、标准差
偏差
偏差 =（变量）-（平均）
各值与平均的距离。偏差之和必为 0!
方差
V = （偏差）21 + （偏差）22 + ... + （偏差）2nn
偏差平方的平均。平方原因：偏差之和为0
标准差
\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{方差}
方差开根回到原单位
🔍 为何要平方?
①偏差求和 + 与 - 抵消恒为0
②先平方都变正再求平均
③即方差 V
④方差单位（分）²难解释
⑤开根回到原单位（分）就是标准差
考试要点整理
离散程度核心
V = \Sigma（偏差）2n, \sigma = \sqrt{V}
标准差越小数据越集中于平均附近
🎯 考试要点
①偏差之和 = 0（恒成立 -- 用于验算）
②方差 = 偏差平方均值，标准差 = √方差
③标准差小 → 数据集中
④有极端值用中位数代替平均
⑤方差单位为原单位平方，标准差与原单位相同