初中三年级 (14-15岁)

初中数学代表值与离散程度

全班 30 人的分数这样数字一多，就很难一眼看清，于是用一个能代表全部数据的数来概括，这就是数据的代表值。代表值有三种：把所有数据相加再除以个数的平均数，按大小排列后位于正中间的中位数，以及出现次数最多的众数，要根据数据的特点选用。即使代表值相同，数据可能聚集在平均数附近，也可能分散得很开，所以还要看表示离散程度的方差和标准差。图中特别能看到：只要混进一个远离其他数据的极端值，平均数就会大幅移动，而中位数几乎不变。

用一个数概括大量数据

分散程度1.5

👀 为什么需要代表值

①考试之后，全班的分数一下子都出来了。

②一个个地看数字，很难把握整体情况。

③所以用一个能代表全部数据的数来概括，这就是代表值。

④图上方的标准差是根据图中 20 个点直接算出的。把分散程度调大，平均数仍在 70 附近，标准差却变大。

三种代表值

平均数

x̄ = x₁ + x₂ + ... + x_nn

所有数据之和除以数据个数，是最常用的代表值。

中位数

把数据按大小顺序排列后，位于正中间的数

数据个数为偶数时，取中间两个数的平均数。受极端值的影响较小。

众数

数据中出现次数最多的数

可能不止一个。像喜欢的颜色这类非数值数据也能用。

💡 用五个人的分数来求

①五个人的分数是 60，70，70，80，100。

②平均数是 (60 + 70 + 70 + 80 + 100) ÷ 5 = 76。

③按大小排列后正中间的第三个数，即中位数，是 70。

④出现两次的 70 是众数。

⑤平均数 76 比中位数 70 大，是因为单独偏高的 100 分把平均数拉高了。

极端值与代表值的选择

第五名学生的阅读时间（分钟）80

⚠️ 有极端值时

①明显偏离其他数据的数叫做极端值（异常值）。

②有极端值时，平均数会被大幅拉向它。

③中位数是位置居中的数，几乎不受极端值大小的影响。

④像收入这样混有少数特别大的值的数据，中位数比平均数更能反映实际情况。

⑤图中把第五个数一直调到 200，中位数仍停在 70。

离散程度：偏差、方差、标准差

偏差

偏差 = 数据 − 平均数

表示每个数据离平均数有多远，所有偏差相加总是 0。

方差

V = （偏差）²₁ + （偏差）²₂ + ... + （偏差）²_nn

偏差平方的平均数。偏差直接取平均总是 0，所以要先平方。

标准差

标准差 = √方差

对方差开平方，单位就回到原数据的单位。

🔍 为什么要平方

①把所有偏差相加，正负互相抵消，结果总是 0。

②所以先把偏差平方，使它们都不小于 0，再求平均数。

③这就是方差。

④方差的单位是原单位的平方（分²），直接解释比较困难。

⑤开平方回到原单位（分），就是标准差。

例题演练

例题 1

求数据 1, 3, 5, 7, 9 的中位数。

把数据按大小顺序排列，这里已经排好了。

1, 3, 5, 7, 9

共 5 个数据，是奇数，所以中间的第三个数就是中位数。

中位数 = 5

▸ 5

数据个数为奇数时取正中间的数，为偶数时取中间两个数的平均数。

例题 2

求数据 1, 3, 5 的方差。

求平均数：(1 + 3 + 5) ÷ 3 = 3。

平均 = (1+3+5)/3 = 3

把偏差 −2、0、2 平方后求平均数。

方差 = (4+0+4)/3 = 8/3

▸ 8/3

方差是偏差平方的平均数，偏差是数据减去平均数。

考点整理

离散程度的要点

V = Σ（偏差）²n, σ = √V

标准差越小，数据越集中在平均数附近。

初三内考类型

五个变量 5, 6, 8, 9, x 的平均数为7，求 x 的值。

①5

②6

③7

④8

⑤9

▸ ③ 7

平均 = 总和 ÷ 个数，故总和 = 7 × 5 = 35。

5+6+8+9+x = 35

28 + x = 35，故 x = 7。

28+x=35 ⇒ x=7

🎯 考点

①偏差之和总是 0，可用来检验计算。

②方差是偏差平方的平均数，标准差是方差的算术平方根。

③标准差小，说明数据比较均匀地集中在平均数附近。

④有极端值时，中位数比平均数更适合作代表值。

⑤方差的单位是原单位的平方，标准差的单位与原单位相同。

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