seegongsik
初中三年级 (14-15岁)

初中数学 二次函数的应用

二次函数不只是用来画图，还能帮我们找出某个量什么时候最大、什么时候最小。 抛物线在顶点处最高或最低，所以 a > 0 时顶点的纵坐标是最小值，a < 0 时是最大值。 不过，如果 x 的取值范围有限制，顶点可能落在范围之外，这时还要比较两个端点处的函数值。 用 20 m 长的篱笆围成长方形，问什么形状面积最大，只要把面积写成长的二次函数，一个顶点就能给出答案。

限定范围内的最大值和最小值

-1
4
📊 求最大值和最小值的步骤
①顶点在 x 的取值范围内时，在顶点处取得最小值（a > 0）或最大值（a < 0）。
②顶点在范围外时，比较两个端点处的函数值。
③候选点是顶点、左端点和右端点三处。
④图中初始范围 −1 ≤ x ≤ 4 时，在顶点 (1, −2) 处取得最小值 −2，在右端点 x = 4 处取得最大值 7。

面积最大的篱笆

5
🏠 篱笆问题的解法
①周长是 20 m，长与宽的和是 10 m，设长为 x，则宽为 10 − x。
②面积 S = x(10 − x) = −x² + 10x，是 x 的二次函数。
③S = −(x − 5)² + 25，所以 x = 5 时取得最大值 25 m²。
④长和宽都是 5 m 的正方形面积最大，右侧图象的顶点正是这一时刻。

二次函数与一元二次方程

函数与方程的联系
在 y = ax² + bx + c 中令 y = 0，得 ax² + bx + c = 0
图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的根。
🔗 三点联系
①二次函数图象与 x 轴交点的横坐标，是对应一元二次方程的根。
②由判别式 Δ 的正负，可以知道图象与 x 轴交点的个数。
③两个函数图象的交点，是两个解析式联立所得方程组的解。

求二次函数的解析式

顶点与另一点
顶点 (p, q) 和一点 (x₁, y₁) → 代入 y = a(x − p)² + q
知道顶点后，只需求出 a。
与 x 轴的两个交点与另一点
与 x 轴交于 x = α、β → 把一点代入 y = a(x − α)(x − β)
知道与 x 轴的交点时，用交点式。
📝 求解析式的策略
①已知顶点时，用顶点式。
②已知与 x 轴的两个交点时，用交点式。
③已知图象经过的三个点时，代入一般式 y = ax² + bx + c，解方程组。

例题演练

例题 1
求二次函数 y=x²−4x+7 的最小值。
1
配方：x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3。
y = (x−2)²+3
2
a > 0，所以在顶点处取得最小值，最小值是 3。
最小值 = 3 (x=2)
▸ 3
a > 0 时，在顶点处取得最小值。
例题 2
求二次函数 y=−(x−1)²+5 的最大值。
1
顶点是 (1, 5)，a = −1 < 0。
y = −(x−1)²+5
2
a < 0，所以在顶点处取得最大值，最大值是 5。
最大值 = 5 (x=1)
▸ 5
a < 0 时，在顶点处取得最大值。

考点整理

应用的要点
最值 → 顶点和端点 · 与 x 轴交点 → 判别式 · 求解析式 → 选合适的形式代入条件
二次函数的应用题大多属于这三种类型之一。
初三 内考类型
二次函数 y=2x²−8x+11 的最小值是？
①1
②3
③5
④8
⑤11
▸ ② 3
1
配方：2x²−8x+11 = 2(x−2)²+3。
y = 2(x−2)²+3
2
因 a=2>0，在 x=2 处最小值为 3。
最小值 = 3
🎯 考点
①最大值、最小值在顶点处取得：a > 0 时是最小值，a < 0 时是最大值。
②x 有取值范围时，一定要比较端点处的值。
③问面积或距离最大时，先写成二次函数，再找顶点。
④图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程的根。
⑤求解析式时，选择与已知条件相符的形式。
← 上一页
二次函数图象
下一页 →
三角比

最后更新

如果有帮助，请支持我们