初三数学›二次函数

二次函数的应用

Applications of Quadratic Functions

定义域上的最大·最小
-1
4
📊 求最值策略
①顶点在定义域内 → 顶点值为最大或最小
②顶点在定义域外 → 比较两端点
③候选：顶点、左端点、右端点
面积最大问题 — 围栏问题
5
🏠 围栏问题解法
①周长 = 20m → 宽 x、高 (10−x)
②面积 S = x(10−x) = −x²+10x
③在抛物线顶点处最大
④x = 5 时 S = 25m²（正方形!）
二次函数与二次方程的关系
函数与方程的联系
y = ax²+bx+c 中令 y=0 → ax²+bx+c = 0
图像 x截距 = 方程的根
🔗 联系
①图像与 x轴交点 → 方程的根
②判别式 D 判断交点个数
③两函数交点 → 联立方程
二次函数的解析式
顶点与一点
顶点(p,q) + 点(x₁,y₁) → 代入 y=a(x−p)²+q
已知顶点，只需求 a
两 x截距与一点
x截距 α, β → y=a(x−α)(x−β)，代入一点
已知根则用因式分解形
📝 求解析式策略
①给顶点 → 用顶点形
②给 x截距 → 用因式分解形
③给三点 → 用一般形 y=ax²+bx+c 联立
考试要点整理
应用核心
最值 → 顶点、交点 → 判别式、求解析式 → 条件代入
二次函数应用的三大类型
🎯 考试要点
①最值在顶点（a>0 为最小，a<0 为最大）
②定义域受限时也要看两端点
③面积·距离最大 → 用二次函数建模 → 顶点
④图像与 x轴交点 = 方程的根
⑤解析式选择：根据条件选合适形式