二次函数的应用

Applications of Quadratic Functions

二次函数不只是用来画图象，更是求最大值和最小值的有力工具。抛物线在顶点处取到最高或最低，所以像求最大面积这样的问题也能轻松解决。比如用长度固定的围栏围成矩形，一个二次函数就能告诉你何时面积最大。在本页可以拖动定义域的两端、改变围栏的宽度，看看最大值和最小值出现在哪里。

定义域上的最大·最小

起点 (lo)-1

终点 (hi)4

📊 求最值策略

①顶点在定义域内 → 顶点值为最大或最小

②顶点在定义域外 → 比较两端点

③候选：顶点、左端点、右端点

面积最大问题 — 围栏问题

宽 x (m)5

🏠 围栏问题解法

①周长 = 20m → 宽 x、高 (10−x)

②面积 S = x(10−x) = −x²+10x

③在抛物线顶点处最大

④x = 5 时 S = 25m²（正方形!）

二次函数与二次方程的关系

函数与方程的联系

y = ax²+bx+c 中令 y=0 → ax²+bx+c = 0

图像 x截距 = 方程的根

🔗 联系

①图像与 x轴交点 → 方程的根

②判别式 D 判断交点个数

③两函数交点 → 联立方程

二次函数的解析式

顶点与一点

顶点(p,q) + 点(x₁,y₁) → 代入 y=a(x−p)²+q

已知顶点，只需求 a

两 x截距与一点

x截距 α, β → y=a(x−α)(x−β)，代入一点

已知根则用因式分解形

📝 求解析式策略

①给顶点 → 用顶点形

②给 x截距 → 用因式分解形

③给三点 → 用一般形 y=ax²+bx+c 联立

动手解题

例题 1

求二次函数 y=x²−4x+7 的最小值。

配方: x²−4x+7 = (x−2)²+3。

y = (x−2)²+3

因 a>0, 顶点处取最小, 最小值为 3。

最小值 = 3 (x=2)

▸ 3

a>0 时顶点为最小值。

例题 2

求二次函数 y=−(x−1)²+5 的最大值。

顶点为 (1, 5), 且 a=−1<0。

y = −(x−1)²+5

因 a<0, 顶点处取最大, 最大值为 5。

最大值 = 5 (x=1)

▸ 5

a<0 时顶点为最大值。

考试要点整理

应用核心

最值 → 顶点、交点 → 判别式、求解析式 → 条件代入

二次函数应用的三大类型

初三内考类型

二次函数 y=2x²−8x+11 的最小值是？

①1

②3

③5

④8

⑤11

▸ ② 3

配方: 2x²−8x+11 = 2(x−2)²+3。

y = 2(x−2)²+3

因 a=2>0, 在 x=2 处最小值为 3。

最小值 = 3

🎯 考试要点

①最值在顶点（a>0 为最小，a<0 为最大）

②定义域受限时也要看两端点

③面积·距离最大 → 用二次函数建模 → 顶点

④图像与 x轴交点 = 方程的根

⑤解析式选择：根据条件选合适形式