初三 数学›二次函数

二次函数图象

Graphs of Quadratic Functions

y = ax² — a 的作用
1
📊 a 决定什么
①a > 0: 上凸（开口向下）
②a < 0: 下凸（开口向上）
③|a| 越大越窄，|a| 越小越宽
④a = 0 不是二次函数
y = a(x−p)²+q — 顶点式
1
2
-1
🎯 平移的核心
①y=ax² → y=a(x−p)²: 沿 x 方向平移 +p
②y=ax² → y=ax²+q: 沿 y 方向平移 +q
③顶点: (p, q)，轴: x = p
④注意符号: y=a(x−2)²+3 → 顶点 (2, 3)
一般式 → 顶点式
一般式
y = ax² + bx + c
展开形 — 直接读取系数
化为顶点式
y = a(x + b2a)² − b²−4ac4a
通过配方法求顶点
🔄 配方步骤
①把 x²+bx 用 a 提出
②加减 (b/2a 的)平方
③组合成完全平方
④顶点 = (−b/2a, −(b²−4ac)/4a)
图象性质综合
从图读取信息
顶点(p,q), 轴: x=p, y截距: c, 方向: a 的符号
二次函数图象的全部信息
💡 图象性质
①对称轴: x = p（顶点的 x）
②y截距: x=0 → y=c
③x截距: y=0 → 一元二次方程的根
④最大/最小: 顶点的 y
考试要点
二次函数核心
y=a(x−p)²+q — 顶点(p,q), 轴 x=p
所有题目的起点
🎯 考试要点
①a 的符号判断开口方向
②|a| 越大越窄
③注意 y=a(x−p)²+q 的符号: (x−2) → p=+2
④熟练一般式 ↔ 顶点式的变换
⑤利用对称性 f(p+t)=f(p−t)