初中数学二次函数图象

二次函数 y = ax² + bx + c 的图象是一条左右对称的光滑曲线，叫做抛物线。图上是 a、p、q 滑块，抛球轨迹在上一章应用里。系数 a 的符号决定图象开口向上还是向下，绝对值越大开口越窄。改 a 以及顶点位置 p、q，抛物线会张开、翻转和平移。

y = ax² — a 的作用

a 的值1

📊 a 决定什么

①a > 0: 开口向上

②a < 0: 开口向下

③|a| 越大越窄，|a| 越小越宽

④a = 0 不是二次函数

y = a(x−p)²+q — 顶点式

p（x 方向移动）2

q（y 方向移动）-1

🎯 平移的核心

①y=ax² → y=a(x−p)²: 沿 x 方向平移 +p

②y=ax² → y=ax²+q: 沿 y 方向平移 +q

③顶点: (p, q)，轴: x = p

④注意符号: y=a(x−2)²+3 → 顶点 (2, 3)。默认 a=1、p=2、q=−1 时一般式是 y=x²−4x+3

一般式 → 顶点式

一般式

y = ax² + bx + c

展开形 — 直接读取系数

化为顶点式

y = a(x + b2a)² − b²−4ac4a

通过配方法求顶点

🔄 配方步骤

①把 x²+bx 用 a 提出

②加减 (b/2a 的)平方

③组合成完全平方

④顶点 = (−b/2a, −(b²−4ac)/4a)

图象性质综合

从图读取信息

顶点(p,q), 轴: x=p, y截距: c, 方向: a 的符号

二次函数图象的全部信息

💡 图象性质

①对称轴: x = p（顶点的 x）

②y截距: x=0 → y=c

③x截距: y=0 → 一元二次方程的根

④最大/最小: 顶点的 y

⑤轴对称: f(p+t)=f(p−t)

动手解题

例题 1

求二次函数 y=(x−2)²+3 的顶点坐标。

顶点式 y=a(x−p)²+q 中, 顶点为 (p, q)。

y = (x−2)²+3

此处 p=2, q=3, 故顶点为 (2, 3)。

顶点 (2, 3)

▸ (2, 3)

(x−2) 是 x−p 的形式, 故 p=+2。注意符号。

例题 2

把 y=x²−4x+1 化为顶点式并求顶点。

对 x²−4x 配方: x²−4x = (x−2)²−4。

y = (x−2)²−4+1

整理得 y=(x−2)²−3, 顶点为 (2, −3)。

y = (x−2)²−3 ⇒ 顶点 (2, −3)

▸ y=(x−2)²−3, 顶点 (2, −3)

加减一次项系数一半 (−2) 的平方 4。

考试要点

二次函数核心

y=a(x−p)²+q — 顶点(p,q), 轴 x=p

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初三内考类型

二次函数 y=x²−6x+5 图象的对称轴方程是？

①x=−3

②x=−6

③x=3

④x=5

⑤x=6

▸ ③ x=3

对称轴为 x = −b/(2a)。a=1, b=−6。

x = −(−6)/(2·1)

计算得 x=3。

x = 6/2 = 3

🎯 考试要点

①a 的符号判断开口方向

②|a| 越大越窄

③注意 y=a(x−p)²+q 的符号: (x−2) → p=+2

④熟练一般式 ↔ 顶点式的变换

⑤利用对称性 f(p+t)=f(p−t)

初中数学 二次函数图象