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初中三年级 (14-15岁)

初中数学 二次函数图象

二次函数 y = ax² + bx + c 的图象是一条叫做抛物线的光滑曲线，它关于一条直线左右对称。 在最基本的 y = ax² 中，a 的符号决定开口向上还是向下，a 的绝对值越大，开口越小。 y = a(x − p)² + q 是把 y = ax² 沿 x 轴方向平移 p、沿 y 轴方向平移 q 得到的图象，所以顶点是 (p, q)，对称轴是 x = p。 展开的一般式通过配方也能化成这种形式，于是顶点、对称轴和最大值或最小值都能直接读出来。

y = ax² 中 a 的作用

1
📊 a 决定什么
①a > 0 时开口向上。
②a < 0 时开口向下。
③|a| 越大开口越小，|a| 越小开口越大。
④a = 0 时 y = 0，不是二次函数。

顶点式 y = a(x − p)² + q

1
2
-1
🎯 平移
①把 y = ax² 中的 x 换成 x − p，得到 y = a(x − p)²，图象沿 x 轴方向平移 p。
②y = ax² + q 是沿 y 轴方向平移 q 的图象。
③y = a(x − p)² + q 的顶点是 (p, q)，对称轴是 x = p。
④注意符号：y = (x − 2)² + 3 的顶点是 (2, 3)。图中初始状态 a = 1、p = 2、q = −1 展开后是 y = x² − 4x + 3，写在图的左下角。

把一般式化成顶点式

一般式
y = ax² + bx + c
一般式能直接读出与 y 轴的交点 c。
化成顶点式
y = a(x + b2a)² − b²−4ac4a
用配方法求出顶点坐标。
🔄 配方的过程
①把 ax² + bx 部分提出 a。
②在括号内加上并减去一次项系数一半的平方。
③写成完全平方式，并整理剩下的常数。
④结果顶点为 (−b/2a，−(b² − 4ac)/4a)。

图象性质汇总

从图象读出的信息
顶点 (p, q) · 对称轴 x = p · 与 y 轴交于 c · 开口方向看 a 的符号
关于二次函数图象需要知道的信息，都包含在这个式子里。
💡 图象的性质
①对称轴是 x = p，即经过顶点的直线。
②与 y 轴的交点是代入 x = 0 得到的值 c。
③与 x 轴的交点是令 y = 0 所得一元二次方程的根。
④最大值或最小值是顶点的纵坐标。
⑤图象关于对称轴对称，所以 f(p + t) = f(p − t)。

例题演练

例题 1
求二次函数 y=(x−2)²+3 的顶点坐标。
1
在顶点式 y = a(x − p)² + q 中，顶点是 (p, q)。
y = (x−2)²+3
2
p = 2，q = 3，所以顶点是 (2, 3)。
顶点 (2, 3)
▸ (2, 3)
(x − 2) 是 x − p 的形式，所以 p = +2，要注意符号。
例题 2
把 y=x²−4x+1 化为顶点式并求顶点。
1
对 x² − 4x 配方：x² − 4x = (x − 2)² − 4。
y = (x−2)²−4+1
2
整理得 y = (x − 2)² − 3，顶点是 (2, −3)。
y = (x−2)²−3 ⇒ 顶点 (2, −3)
▸ y=(x−2)²−3，顶点 (2, −3)
加上并减去一次项系数一半（−2）的平方 4。

考点整理

二次函数的要点
y = a(x − p)² + q → 顶点 (p, q)，对称轴 x = p
大多数二次函数问题都从化成顶点式开始。
初三 内考类型
二次函数 y=x²−6x+5 图象的对称轴方程是？
①x=−3
②x=−6
③x=3
④x=5
⑤x=6
▸ ③ x=3
1
对称轴为 x = −b/(2a)。a=1, b=−6。
x = −(−6)/(2·1)
2
计算得 x=3。
x = 6/2 = 3
🎯 考点
①由 a 的符号判断开口向上还是向下。
②|a| 越大，图象开口越小。
③在 y = a(x − p)² + q 中，(x − 2) 表示 p = +2，符号容易出错。
④要练熟把一般式化成顶点式。
⑤利用关于对称轴的对称性 f(p + t) = f(p − t)。
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