一元二次方程的应用

Applications of Quadratic Equations

一元二次方程的应用，就是把投球、测面积这类真实情境化成方程来解。斜着抛出的球会画出抛物线，把高度设为0的方程能告诉你它何时落地。先设未知数、列方程再求解，但若出现两个根，长度或自然数等不符条件的答案必须舍去。在本页改变初速和角度观察轨迹，再拉伸长方形，看面积如何变成方程。

抛物运动 — 自然中的一元二次方程

初速 v₀20 m/s

发射角45°

🏀 抛物运动与一元二次方程

①投出的球呈抛物线 → y = ax²+bx+c

②何时落地? → y=0 → 一元二次方程!

③最高点高度? → 顶点的 y 坐标

面积问题 — 用图形列方程

x（增加长度）3

📐 面积问题的策略

①设未知数 x（增加、减少等）

②用 x 表示面积

③列出符合条件的方程

④解出 x 并验证（须为正等）

数的问题

连续整数问题

n(n+1) = 90 → n²+n−90 = 0

连续整数: n 与 n+1

🔢 数的问题类型

①连续两个自然数的积 = A → n(n+1) = A

②某数平方减3等于… → x²−3 = …

③两位自然数各位之积 → (10a+b)、ab = …

应用题的4个步骤

解题步骤

设未知数 → 列方程 → 解方程 → 验证

始终遵循这个顺序

⚠️ 验证的重要性

①一元二次方程可能有两个根

②不符条件的根要舍去

③"求自然数" → 舍去负根

④"求长度" → 舍去负根

⑤务必代回原题验证

动手解题

例题 1

两个连续自然数的积为56。求这两个数。

设较小的数为 n, 则 n(n+1)=56。

n(n+1)=56 ⇒ n²+n−56=0

因式分解: (n−7)(n+8)=0。n 为自然数, 故 n=7。

(n−7)(n+8)=0 ⇒ n=7

▸ 7 与 8

自然数条件排除 n=−8。

例题 2

对某正数 x 有 x(x+3)=40。求 x。

展开并整理为0。

x²+3x−40=0

因式分解: (x−5)(x+8)=0。因 x>0, 故 x=5。

(x−5)(x+8)=0 ⇒ x=5

▸ x = 5

正数条件排除 x=−8。

考试要点

应用的核心公式

连续整数: n, n+1 / 面积: 长×宽 / 时间: h=v₀t−5t²

记住按题型设未知数

初三内考类型

从地面发射的物体在 t 秒后的高度为 h=−5t²+20t (m)。发射后多少秒落回地面？

①1秒

②2秒

③4秒

④5秒

⑤8秒

▸ ③ 4秒

落地时 h=0。

−5t²+20t=0

由 −5t(t−4)=0 且 t>0, 得 t=4。

−5t(t−4)=0 ⇒ t=4

🎯 考试要点

①未知数设为所求的量

②列方程后必整理为=0

③求根后核对条件（自然数、正数等）

④答数注意单位

⑤注意"大于"、"以下"等不等号条件