seegongsik
初中三年级 (14-15岁)

初中数学 一元二次方程的应用

斜着抛出的球的高度、面积一定的菜地的大小、积一定的两个数，生活中很多情境都能化成一元二次方程。 抛出的球沿抛物线飞行，令高度为 0 解一元二次方程，就能知道球何时、在何处落地。 解题步骤总是一样：设要求的量为 x，根据条件列方程，解方程，最后检验答案是否符合条件。 一元二次方程常常有两个根，如果所求的量是长度、个数这类不能为负的量，就要舍去负根。

抛出的球的抛物线

20 m/s
45°
🏀 抛体运动与一元二次方程
①用水平距离 x 表示球的高度 y，得到 y = ax² + bx 形式的二次式（a < 0）。
②球落地处 y = 0，所以解方程 ax² + bx = 0 就能求出落点。
③球上升到的最高点是抛物线的顶点。
④图中把重力加速度近似取为 10 m/s²。初始状态 20 m/s、45° 时，水平距离是 40 m，最大高度是 10 m。

面积问题中列方程

3
📐 解面积问题的步骤
①设增加或减少的长度为 x。
②用含 x 的式子表示新图形的面积，图中是 (10 + x)(8 + x)。
③根据面积条件列方程：面积为 120 时，x² + 18x − 40 = 0。
④解得 x = 2 或 x = −20，长度必须是正数，所以只有 x = 2 是答案。

数字问题

连续的正整数
n(n + 1) = 90 → n² + n − 90 = 0
两个连续正整数，设较小的为 n，则表示为 n、n + 1。
🔢 常见的数字问题
①两个连续正整数之积为 A，则 n(n + 1) = A。
②已知某数的平方减去 3 的值，就列 x² − 3 =（该值）。
③两位数的十位数字为 a、个位数字为 b，则写成 10a + b。

应用题的四个步骤

解题步骤
设未知数 → 列方程 → 解方程 → 检验
无论哪种题型，都按这个顺序进行。
⚠️ 为什么要检验
①一元二次方程可能有两个根。
②其中不符合题意的根要舍去。
③求正整数、长度、时间的问题中，负根要舍去。
④把答案代回原题情境，检验是否成立。

例题演练

例题 1
两个连续自然数的积为56。求这两个数。
1
设较小的数为 n，则 n(n + 1) = 56。
n(n+1)=56 ⇒ n²+n−56=0
2
因式分解得 (n − 7)(n + 8) = 0，n 是正整数，所以 n = 7。
(n−7)(n+8)=0 ⇒ n=7
▸ 7 与 8
根据正整数的条件，舍去负根 n = −8。
例题 2
对某正数 x 有 x(x+3)=40。求 x。
1
展开并整理成右边为 0 的形式。
x²+3x−40=0
2
(x − 5)(x + 8) = 0，因为 x > 0，所以 x = 5。
(x−5)(x+8)=0 ⇒ x=5
▸ x = 5
根据正数的条件，舍去 x = −8。

考点整理

各类问题的列式方法
连续数：n，n + 1 · 面积：长 × 宽 · 竖直上抛物体的高度：h = v₀t − 5t²
不同题型怎样设未知数，决定了解题的一半。
初三 内考类型
从地面发射的物体在 t 秒后的高度为 h=−5t²+20t (m)。发射后多少秒落回地面？
①1秒
②2秒
③4秒
④5秒
⑤8秒
▸ ③ 4秒
1
落地时 h=0。
−5t²+20t=0
2
由 −5t(t−4)=0 且 t>0，得 t=4。
−5t(t−4)=0 ⇒ t=4
🎯 考点
①设所求的量为未知数。
②列出方程后，整理成右边为 0 的形式。
③求出根后，检验是否满足正整数、正数等条件。
④答案要带上单位。
⑤题中出现“大于”“不超过”等字眼时，要再次检查条件。
← 上一页
一元二次方程的解法
下一页 →
二次函数图象

最后更新

如果有帮助，请支持我们