初三数学›一元二次方程

一元二次方程的解法

Solving Quadratic Equations

方程的根 = 抛物线与x轴的交点

b（一次项系数）-2

c（常数项）-3

👀 从图象看根

①抛物线与x轴交于两点 → 两个不同实根

②与x轴相切 → 二重根

③不相交 → 无实根

因式分解法

因式分解法

ax²+bx+c = 0 → a(x−p)(x−q) = 0 → x=p 或 x=q

因式分解后令每个因式为0

🧩 因式分解步骤

①把右边化为0

②对左边因式分解

③令每个因式=0求x

④例: x²−5x+6 = 0 → (x−2)(x−3) = 0 → x = 2, 3

完全平方与开方解

开方法

(x+a)² = k → x+a = ±√k → x = −a ± √k

化为完全平方后开方

💡 配方法

①x²+6x = 7 → x²+6x+9 = 16（两边+9）

②(x+3)² = 16

③x+3 = ±4

④x = 1 或 x = −7

求根公式

求根公式

x = −b ± √(b²−4ac)2a

通用公式

判别式

D = b²−4ac

D>0: 两实根、D=0: 二重根、D<0: 无实根

⚠️ 使用公式的注意

①整理为 ax²+bx+c = 0 后再代入

②注意 b 前的负号

③整体除以 2a（不是只除2）

④D<0 → "在实数范围内无解"

考试要点

解一元二次方程的3种方法

因式分解 → 配方法 → 求根公式

不能因式分解就用公式

🎯 考试要点

①先尝试因式分解

②二重根条件: D = 0

③根与系数的关系: 和 = −b/a, 积 = c/a

④整数根 ⇔ D 为完全平方数

⑤先化为右边=0