一元二次方程的解法

Solving Quadratic Equations

一元二次方程是 x 的最高次数为2的方程，写成 ax² + bx + c = 0。就像求抛出的物体高度变为0的时刻，它通常有两个解。可以因式分解让两个一次式的乘积为0，若无法分解，就用求根公式总能解出。在本页改变系数，看看两个根如何变化、判别式如何决定根的个数。

方程的根 = 抛物线与x轴的交点

b（一次项系数）-2

c（常数项）-3

👀 从图象看根

①抛物线与x轴交于两点 → 两个不同实根

②与x轴相切 → 二重根

③不相交 → 无实根

因式分解法

ax²+bx+c = 0 → a(x−p)(x−q) = 0 → x=p 或 x=q

因式分解后令每个因式为0

🧩 因式分解步骤

①把右边化为0

②对左边因式分解

③令每个因式=0求x

④例: x²−5x+6 = 0 → (x−2)(x−3) = 0 → x = 2, 3

完全平方与开方解

开方法

(x+a)² = k → x+a = ±√k → x = −a ± √k

化为完全平方后开方

💡 配方法

①x²+6x = 7 → x²+6x+9 = 16（两边+9）

②(x+3)² = 16

③x+3 = ±4

④x = 1 或 x = −7

求根公式

x = −b ± √(b²−4ac)2a

通用公式

判别式

D = b²−4ac

D>0: 两实根、D=0: 二重根、D<0: 无实根

⚠️ 使用公式的注意

①整理为 ax²+bx+c = 0 后再代入

②注意 b 前的负号

③整体除以 2a（不是只除2）

④D<0 → "在实数范围内无解"

动手解题

例题 1

解方程 x²−5x+6=0。

对左边因式分解: 积6、和−5的两数是 −2, −3。

x²−5x+6 = (x−2)(x−3)

令每个因式为0。

(x−2)(x−3)=0 ⇒ x=2 或 x=3

▸ x = 2 或 x = 3

能因式分解时这是最快的方法。

例题 2

用求根公式解 x²−4x+1=0。

代入 a=1, b=−4, c=1。

x = (4±√(16−4))/2

因为 √12=2√3, 约分。

x = (4±2√3)/2 = 2±√3

▸ x = 2 ± √3

不能因式分解就用公式; 先化简根号内。

考试要点

解一元二次方程的3种方法

因式分解 → 配方法 → 求根公式

不能因式分解就用公式

初三内考类型

若 x²−6x+k=0 有二重根, 则常数 k 的值是？

①3

②6

③9

④12

⑤36

▸ ③ 9

二重根的条件是判别式 D=0。

D = (−6)²−4·1·k = 36−4k

解 36−4k=0。

36−4k=0 ⇒ k=9

🎯 考试要点

①先尝试因式分解

②二重根条件: D = 0

③根与系数的关系: 和 = −b/a, 积 = c/a

④整数根 ⇔ D 为完全平方数

⑤先化为右边=0