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初中三年级 (14-15岁)

初中数学 一元二次方程的解法

一元二次方程式是未知数 x 的最高次数为 2 的方程，整理后是 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的形式。 求一个竖直向上抛出的球高度为 0 的时刻，会同时得到抛出和落地两个时刻，一元二次方程的解通常也有两个。 左边能因式分解时，利用“两个一次式之积为 0”来解；不能时，用配方法或求根公式总能求解。 从图象看，方程的解就是抛物线 y = x² + bx + c 与 x 轴交点的横坐标，交点个数由判别式 Δ = b² − 4ac 的正负决定。

根就是抛物线与 x 轴的交点

-2
-3
👀 从图象看根
①抛物线与 x 轴有两个交点时，方程有两个不相等的实数根（Δ > 0）。
②抛物线与 x 轴只有一个公共点（相切）时，两个根相等（Δ = 0）。
③抛物线与 x 轴没有交点时，方程没有实数根（Δ < 0）。
④图中初始状态 b = −2、c = −3 时 Δ = 16，两个根是 3 和 −1。Δ 不是完全平方数时根是无理数，图的上方会同时写出它的准确形式。

因式分解法

因式分解法
ax² + bx + c = 0 → a(x − p)(x − q) = 0 → x = p 或 x = q
利用“两个数的积为 0，则其中至少有一个为 0”。
🧩 因式分解法的步骤
①把所有项移到左边，使右边为 0。
②把左边因式分解。
③令每个因式等于 0，求出 x。
④例如 x² − 5x + 6 = 0，得 (x − 2)(x − 3) = 0，所以 x = 2 或 x = 3。

配方法与直接开平方法

直接开平方法
(x + a)² = k（k ≥ 0）→ x + a = ±√k → x = −a ± √k
先把左边配成完全平方式，再两边开平方。
💡 怎样配方
①在 x² + 6x = 7 中，两边加上一次项系数 6 的一半的平方 9，得 x² + 6x + 9 = 16。
②左边成为 (x + 3)²，即 (x + 3)² = 16。
③x + 3 = ±4。
④所以 x = 1 或 x = −7。

求根公式

求根公式
x = −b ± √(b²−4ac)2a
它是对一般的 a、b、c 配方得到的结果，适用于所有一元二次方程。
判别式
Δ = b² − 4ac
Δ > 0 有两个不相等的实数根，Δ = 0 有两个相等的实数根，Δ < 0 没有实数根。
⚠️ 使用求根公式的注意点
①一定先整理成 ax² + bx + c = 0 的形式，再读出 a、b、c。
②公式前面的 −b，当 b 为负数时要变号。
③要用 2a 去除整个分子，只除一部分就错了。
④Δ < 0 时，答“方程没有实数根”。
⑤a = 1 且 b、c 为整数时，Δ 是完全平方数，两个根就是整数。

例题演练

例题 1
解方程 x²−5x+6=0。
1
把左边因式分解：积为 6、和为 −5 的两个数是 −2 和 −3。
x²−5x+6 = (x−2)(x−3)
2
令每个因式等于 0。
(x−2)(x−3)=0 ⇒ x=2 或 x=3
▸ x = 2 或 x = 3
能因式分解时，这是最快的解法。
例题 2
用求根公式解 x²−4x+1=0。
1
把 a = 1、b = −4、c = 1 代入求根公式。
x = (4±√(16−4))/2
2
√12 = 2√3，分子分母同时约去 2。
x = (4±2√3)/2 = 2±√3
▸ x = 2 ± √3
看不出因式分解时就用求根公式，并先化简根号。

考点整理

解一元二次方程的三种方法
因式分解法 → 配方法 → 公式法
能直接看出因式分解时它最快，看不出时就用公式法。
初三 内考类型
若 x²−6x+k=0 有二重根，则常数 k 的值是？
①3
②6
③9
④12
⑤36
▸ ③ 9
1
二重根的条件是判别式 D=0。
D = (−6)²−4·1·k = 36−4k
2
解 36−4k=0。
36−4k=0 ⇒ k=9
🎯 考点
①先尝试因式分解，不行再用求根公式。
②方程有两个相等实数根的条件是 Δ = b² − 4ac = 0。
③两根之和为 −b/a，两根之积为 c/a。
④问有整数根的条件时，看 Δ 是否为完全平方数。
⑤一定先使右边为 0 再开始解。
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