因式分解

Factorization

因式分解是展开的逆过程，把展开的多项式重新写成几个因式的乘积。就像把混合的成品还原成原料，x²+6x+9 会变回 (x+3)²。你会认识完全平方公式和平方差公式，并学会寻找乘积为常数项、和为一次项系数的两个数。在本页拖动 a、b 和常数项，观察面积小块如何拼成一个正方形、因数对如何出现。

什么是因式分解？ — 展开的逆

🔄 展开 ↔ 因式分解

①展开: (a+b)² → a²+2ab+b²（积 → 和）

②因式分解: a²+2ab+b² → (a+b)²（和 → 积）

③因式分解就是乘法公式反向使用！

利用乘法公式因式分解

完全平方公式

a²+2ab+b² = (a+b)²

中间项是否为 2ab

平方差公式

a²−b² = (a+b)(a−b)

平方差 → 和×差

🔍 判别技巧

①3项且两端为完全平方 → 疑似完全平方

②2项且都是平方 → 平方差

③中间项 = 2 × √首 × √末

x²+(a+b)x+ab 型

常数项 (pq)6

寻找因数对

x²+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)

积=常数, 和=一次项系数

🧩 寻找策略

①列出常数的所有约数对

②选择和等于一次项系数的对

③别忘了负数对！

公因式与替换

提取公因式

ma+mb = m(a+b)

永远先提取公因式

📌 因式分解的顺序

①Step1: 有公因式则先提取

②Step2: 对剩余使用乘法公式

③Step3: 直至无法再分解

④例: 2x²+4x+2 = 2(x²+2x+1) = 2(x+1)²

动手解题

例题 1

因式分解 x²+6x+9。

检查两端是否为完全平方: x²=(x)², 9=3²。

x²+6x+9 = x²+2·x·3+3²

中间项 6x = 2·x·3, 故为完全平方。

= (x+3)²

▸ (x+3)²

若中间项等于 2×(两端平方根之积), 即为完全平方。

例题 2

因式分解 x²−7x+12。

找乘积为12、和为−7的两数: −3 与 −4。

(−3)×(−4)=12, (−3)+(−4)=−7

化为 (x+p)(x+q) 形式。

= (x−3)(x−4)

▸ (x−3)(x−4)

乘积为正、和为负, 则两数均为负。

考试要点整理

因式分解公式

a²±2ab+b² = (a±b)², a²−b² = (a+b)(a−b)

乘法公式反向 = 因式分解

初三内考类型

下列哪个是 x²−25 的正确因式分解？

①(x+5)²

②(x−5)²

③(x+5)(x−5)

④(x+25)(x−1)

⑤5(x−5)

▸ ③ (x+5)(x−5)

注意 x²−25 = x²−5² 是平方差。

x²−25 = x²−5²

应用 a²−b²=(a+b)(a−b)。

= (x+5)(x−5)

🎯 考试要点

①不要忘了先提公因式

②完全平方判别: 中间项 = 2×两端平方根的积

③平方差: 减法形可直接套用

④因数对: 常数的约数中找和正确的

⑤养成展开验证的习惯！