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初中三年级 (14-15岁)

初中数学 因式分解

因式分解是把展开成和的形式的多项式，重新写成几个因式的积，正好是展开的逆过程。 (x + 3)² 展开得 x² + 6x + 9，反过来看到 x² + 6x + 9 就想到 (x + 3)²，这就是因式分解。 从面积看，a²、ab、ab、b² 四块恰好拼成一个边长为 a + b 的正方形，这幅图直接说明了 a² + 2ab + b² = (a + b)²。 再学会找出积等于常数项、和等于 x 的系数的两个数，初中遇到的大多数二次式就都能分解了。

把乘法公式反过来读

3
2
🔄 展开与因式分解
①展开是把积化成和：(a + b)² = a² + 2ab + b²
②因式分解是把和化成积：a² + 2ab + b² = (a + b)²
③图中 a = 3、b = 2 时，四块面积之和 9 + 6 + 6 + 4 = 25，正好等于边长为 5 的正方形面积 5²。

用乘法公式分解因式

完全平方公式
a²+2ab+b² = (a+b)²
中间项是否为 2ab
平方差公式
a² − b² = (a + b)(a − b)
两个平方的差可以分解成两数和与两数差的积。
🔍 选择公式的窍门
①有三项、首末两项都是平方形式时，考虑完全平方公式。
②这时检验中间项是否等于 2 ×（首项的平方根）×（末项的平方根）。
③只有两项、都是平方且用减号连接时，用平方差公式。

x² + (p + q)x + pq 型

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找两个数
x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
找出积等于常数项、和等于 x 的系数的两个数 p、q。
🧩 找两个数的步骤
①写出积等于常数项的所有数对，负数对也不要漏掉。
②从中选出和等于 x 的系数的那一对。
③积为正而和为负时，两个数都是负数；积为负时，两个数异号。

提公因式

提取公因式
ma + mb = m(a + b)
先把每一项都含有的因式提到前面。
📌 因式分解的步骤
①有公因式时，先提取公因式。
②对剩下的式子用乘法公式或找两个数的方法。
③一直分解到不能再分解为止。
④例如 2x² + 4x + 2 = 2(x² + 2x + 1) = 2(x + 1)²，要先提出公因式 2，完全平方式才显现出来。

例题演练

例题 1
因式分解 x²+6x+9。
1
看首末两项是否是平方：x² 是 x 的平方，9 是 3 的平方。
x²+6x+9 = x²+2·x·3+3²
2
中间项 6x 等于 2 · x · 3，所以是完全平方式。
= (x+3)²
▸ (x+3)²
中间项等于 2 ×（首末两项平方根之积）时，就是完全平方式。
例题 2
因式分解 x²−7x+12。
1
积为 12、和为 −7 的两个数是 −3 和 −4。
(−3)×(−4)=12, (−3)+(−4)=−7
2
把 p = −3、q = −4 代入 (x + p)(x + q)。
= (x−3)(x−4)
▸ (x−3)(x−4)
积为正而和为负时，两个数都是负数。

考点整理

因式分解公式
a² ± 2ab + b² = (a ± b)²，a² − b² = (a + b)(a − b)
因式分解公式就是把乘法公式反过来读。
初三 内考类型
下列哪个是 x²−25 的正确因式分解？
①(x+5)²
②(x−5)²
③(x+5)(x−5)
④(x+25)(x−1)
⑤5(x−5)
▸ ③ (x+5)(x−5)
1
注意 x²−25 = x²−5² 是平方差。
x²−25 = x²−5²
2
应用 a²−b²=(a+b)(a−b)。
= (x+5)(x−5)
🎯 考点
①别忘了先提公因式。
②判断完全平方式：看中间项是否等于 2 ×（首末两项平方根之积）。
③用减号连接的两个平方，直接用平方差公式。
④x² + (p + q)x + pq 型，从积与和找出两个数。
⑤把分解的结果再展开，检验能否得到原式。
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