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初中三年级 (14-15岁)

初中数学 多项式的乘法与乘法公式

多项式相乘只要用分配律就能完成，但几种常见的形式记成乘法公式后会快得多。 把边长为 a + b 的正方形分成 a²、ab、ab、b² 四块，(a + b)² = a² + 2ab + b² 就直接用面积表现出来了。 只改变符号的 (a − b)² 只有中间项变成 −2ab；两数和乘两数差 (a + b)(a − b) 展开时中间项互相抵消，只剩下 a² − b²。 这些公式能把 101²、51 × 49 这样的计算变成心算，在下一单元的因式分解中则反过来使用。

用面积看 (a + b)²

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📐 面积图告诉我们什么
①边长为 a + b 的正方形面积是 (a + b)²。
②这个正方形分成 a²、ab、ab、b² 四块。
③所以 (a + b)² = a² + 2ab + b²。
④把 (a + b)² 写成 a² + b² 就漏掉了两块 ab。图中 a = 3、b = 2 时，25 和 13 相差 12。

差的平方 (a − b)²

和的平方
(a + b)² = a² + 2ab + b²
两数的平方和，再加上两数积的 2 倍。
差的平方
(a − b)² = a² − 2ab + b²
只有中间项的符号改变。
💡 判断符号的窍门
①(a + b)² 的中间项是 +2ab。
②(a − b)² 的中间项是 −2ab。
③首末两项 a² 和 b² 是平方，总是正号。
④(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab 也是常一起使用的展开公式。

平方差 (a + b)(a − b)

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平方差公式
(a + b)(a − b) = a² − b²
展开时 +ab 和 −ab 互相抵消。

乘法公式的应用

用于数的计算
101² = (100 + 1)² = 10000 + 200 + 1 = 10201
把数拆成好算的部分再用乘法公式，大数的乘法也能心算。
🧮 应用举例
①99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801。
②51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 2500 − 1 = 2499。
③(√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3，含有根号时公式照样适用。

例题演练

例题 1
展开 (x + 3)²。
1
把 a = x、b = 3 代入和的平方公式 (a + b)² = a² + 2ab + b²。
(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3²
2
计算每一项并整理。
= x² + 6x + 9
▸ x² + 6x + 9
不要漏掉完全平方式的中间项 2ab。
例题 2
展开 (x + 2)(x − 5)。
1
把 a = 2、b = −5 代入 (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab。
x² + (2 + (−5))x + 2·(−5)
2
算出和 2 + (−5) = −3 与积 2 × (−5) = −10。
= x² − 3x − 10
▸ x² − 3x − 10
x 的系数是两数之和，常数项是两数之积。

考点整理

乘法公式
(a ± b)² = a² ± 2ab + b²，(a + b)(a − b) = a² − b²
这些公式是因式分解和一元二次方程的基础。
初三 校内考试 题型
展开 (x + 4)(x − 4) 为？
①x² − 8
②x² + 16
③x² − 16
④x² − 8x − 16
⑤x² − 16x
▸ ③ x² − 16
1
用平方差公式 (a + b)(a − b) = a² − b²。
(x + 4)(x − 4) = x² − 4²
2
计算。
= x² − 16
🎯 考点
①(a + b)² 不等于 a² + b²，不要漏掉 2ab。
②平方差公式反过来用于因式分解时考得更多。
③含有根号或分数时，乘法公式照样使用。
④(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab 也要一起掌握。
⑤展开后还要合并同类项，答案才算完成。
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