多项式的乘法与乘法公式

Polynomial Multiplication & Formulas

看起来复杂的乘法，用面积图来看就一目了然。把边长 a+b 的正方形分成四块，就得到 a²、ab、ab、b²，于是 (a+b)² = a² + 2ab + b² 这个公式自然浮现。换个符号就是 (a−b)²，而和与差相乘的 (a+b)(a−b) 中间相消，只剩下 a² − b²。在这个页面里，你可以拖动 a 和 b，看面积怎样分块、公式为何成立，还能用它算 101² 或 51×49。

(a+b)² — 用面积理解

📐 面积模型的核心

①边长 a+b 的正方形面积 = (a+b)²

②把它切成四块: a² + ab + ab + b²

③因此 (a+b)² = a² + 2ab + b²

(a−b)² 完全平方公式

完全平方（和）

(a+b)² = a² + 2ab + b²

和的平方 = 各自平方 + 2倍乘积

完全平方（差）

(a−b)² = a² − 2ab + b²

只有中间项的符号变了

💡 符号判别要点

①(a+b)²: 中间 +2ab

②(a−b)²: 中间 −2ab

③两端 a², b² 永远为正（平方嘛！）

(a+b)(a−b) — 平方差公式

平方差公式

(a+b)(a−b) = a² − b²

和×差 = 平方差

乘法公式的应用

数值计算技巧

101² = (100+1)² = 10000+200+1 = 10201

用乘法公式让复杂计算变简单

🧮 应用示例

①99² = (100−1)² = 9801

②51×49 = (50+1)(50−1) = 2499

③(√3+1)² = 4+2√3

动手解题

例题 1

展开 (x + 3)²。

用完全平方公式 (a + b)² = a² + 2ab + b²。

(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3²

整理。

= x² + 6x + 9

▸ x² + 6x + 9

注意不要漏掉完全平方的中间项 2ab。

例题 2

展开 (x + 2)(x − 5)。

用 (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab（a = 2, b = −5）。

x² + (2 + (−5))x + 2·(−5)

整理。

= x² − 3x − 10

▸ x² − 3x − 10

一次项系数为两数之和，常数项为两数之积。

考试要点整理

三大乘法公式

(a±b)² = a²±2ab+b², (a+b)(a−b) = a²−b²

因式分解与一元二次方程的基础

初三校内考试题型

展开 (x + 4)(x − 4) 为?

①x² − 8

②x² + 16

③x² − 16

④x² − 8x − 16

⑤x² − 16x

▸ ③ x² − 16

用平方差公式 (a + b)(a − b) = a² − b²。

(x + 4)(x − 4) = x² − 4²

计算。

= x² − 16

🎯 考试要点

①(a+b)² ≠ a²+b² — 不要丢 2ab

②平方差公式反向用得更多（因式分解）

③带根号或分数的题目也用同公式

④(x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab 必背

⑤展开后还要合并同类项