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初中三年级 (14-15岁)

初中数学 含根号的式的运算

带根号的数也遵循一定的规则，可以化成更简单的形式。 像 √12 这样，把根号内的数分解质因数为 2 × 2 × 3，成对的两个 2 移到根号外变成一个 2，于是得到 2√3。 根号部分相同的 2√3 与 5√3，像同类项一样只把系数相加得 7√3；乘法和除法则是根号内的数相乘或相除。 分母中留有根号时，给分子和分母同乘同一个根式，使分母变成有理数，这叫做分母有理化。

分解根号内的数进行化简

12
🔧 化简的原理
①两个相同数的积 a² 移到根号外变成 a：√(a² × b) = a√b。
②√12 = √(2² × 3) = 2√3。
③√48 = √(4² × 3) = 4√3。
④只剩下不成对的质因数时，就不能再化简。图中 n = 30 时，30 = 2 × 3 × 5，没有成对的因数。

只有同类二次根式才能加减

3
2
📏 加法的要点
①只有根号部分相同的项才能把系数相加减，这和同类项一样。
②2√3 + 5√3 = 7√3。
③2√3 + 5√2 根号部分不同，不能再合并。
④看起来不同的根式，化简后有时会相同：√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3。

二次根式的乘法和除法

乘法
√a × √b = √(ab)（a > 0，b > 0）
二次根式相乘，把被开方数相乘。
除法
√a√b = √(ab)
二次根式相除，把被开方数相除。
💡 乘除法的注意点
①√2 × √3 = √6。
②√6 ÷ √2 = √3。
③(2√3)² = 2² × (√3)² = 4 × 3 = 12，系数也要一起平方。
④和乘法不同，加法不能把被开方数合在一起：√a + √b ≠ √(a + b)。

分母有理化

分母有理化
a√b = a√bb
分子分母同乘 √b，去掉分母中的根号。
🧹 为什么要有理化
①分母含有根号时，不便比较大小或估算。
②分子分母同乘同一个根式，因为 (√b)² = b，分母就成为有理数。
③例如 1/√2 = √2/2 ≈ 0.707。

例题演练

例题 1
计算 √2 × √8。
1
二次根式相乘，把被开方数相乘。
√2 × √8 = √(2 × 8) = √16
2
16 是 4 的平方，所以 √16 = 4。
= 4
▸ 4
被开方数的积是完全平方数时，根号就消失了。
例题 2
计算 2√3 + 5√3。
1
根号部分相同，把系数相加。
(2 + 5)√3
2
2 + 5 = 7。
= 7√3
▸ 7√3
根号部分相同，才能像同类项一样相加。

考点整理

二次根式运算小结
a√m ± b√m = (a ± b)√m
根号部分相同的项，只把系数相加减。
初三 校内考试 题型
将 6/√3 的分母有理化为？
①2√3
②3√3
③√3
④6√3
⑤2
▸ ① 2√3
1
分母分子同乘 √3。
6/√3 × √3/√3 = 6√3/3
2
约分。
= 2√3
🎯 考点
①先化简：√48 + √12 = 4√3 + 2√3 = 6√3。
②答案的分母中不要留根号，要进行有理化。
③利用 (√a)² = a。
④√a × √b = √(ab)，但 √a + √b ≠ √(a + b)。
⑤在实数范围内，被开方数不能是负数。
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