初三数学›平方根与实数

含根号的式的运算

Operations with Radicals

化简根号 — 用质因数分解拆分
12
🔧 化简原理
①√(a²×b) = a√b — 成对因数可外移
②例：√12 = √(4×3) = 2√3
③例：√48 = √(16×3) = 4√3
根号的加减 — 仅同类根号!
3
2
📏 加法要点
①根号部分相同才可合并（如同类项）
②2√3 + 5√3 = 7√3 ✓
③2√3 + 5√2 保持不变 ✗
④先化简为同类根号：√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
根号的乘除
乘法公式
√a × √b = √(ab)
根号相乘 → 被开方数相乘
除法公式
√a√b = √(ab)
根号相除 → 被开方数相除
💡 乘除要点
①√2 × √3 = √6
②√6 ÷ √2 = √3
③(2√3)² = 4 × 3 = 12 — 系数也要平方!
分母有理化
有理化
a√b = a√bb
分子分母同乘 √b 去掉分母的根号
🧹 为何要有理化
①分母含 √ 难以比较
②分子分母同乘相同的 √ 后分母变有理数
③例：1/√2 = √2/2 ≈ 0.707...
考试要点整理
根号运算总结
a√m ± b√m = (a±b)√m
同类根号 → 系数运算
🎯 考试要点
①先化简! √48 + √12 → 4√3 + 2√3 = 6√3
②勿忘分母有理化
③利用 (√a)² = a
④√a × √b = √(ab) 但 √a + √b ≠ √(a+b)
⑤根号内不可为负