含根号的式的运算

Operations with Radicals

带根号的数，其实往往可以整理成更简洁的形式。比如 √12 就是 4×3，把成对的 4 移到根号外变成 2，就化简为整齐的 2√3。根号内相同的 2√3 和 5√3 像同类项一样只把系数相加，乘除则在根号内进行，分母里剩下的根号用有理化去掉。在这个页面里，你可以拖动滑块改变数字，看质因数怎样配对外移，看同类根号怎样像条形一样合并。

化简根号 — 用质因数分解拆分

n 值12

🔧 化简原理

①√(a²×b) = a√b — 成对因数可外移

②例：√12 = √(4×3) = 2√3

③例：√48 = √(16×3) = 4√3

根号的加减 — 仅同类根号!

a（前系数）3

b（后系数）2

📏 加法要点

①根号部分相同才可合并（如同类项）

②2√3 + 5√3 = 7√3 ✓

③2√3 + 5√2 保持不变 ✗

④先化简为同类根号：√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3

根号的乘除

乘法公式

√a × √b = √(ab)

根号相乘 → 被开方数相乘

除法公式

√a√b = √(ab)

根号相除 → 被开方数相除

💡 乘除要点

①√2 × √3 = √6

②√6 ÷ √2 = √3

③(2√3)² = 4 × 3 = 12 — 系数也要平方!

分母有理化

有理化

a√b = a√bb

分子分母同乘 √b 去掉分母的根号

🧹 为何要有理化

①分母含 √ 难以比较

②分子分母同乘相同的 √ 后分母变有理数

③例：1/√2 = √2/2 ≈ 0.707...

动手解题

例题 1

计算 √2 × √8。

根号相乘按 √a × √b = √(ab) 合并。

√2 × √8 = √(2 × 8) = √16

√16 = 4。

= 4

▸ 4

根号相乘即把根号内的数相乘。

例题 2

计算 2√3 + 5√3。

根号相同的项按系数相加。

(2 + 5)√3

计算。

= 7√3

▸ 7√3

只有根号部分相同才能像同类项一样相加。

考试要点整理

根号运算总结

a√m ± b√m = (a±b)√m

同类根号 → 系数运算

初三校内考试题型

将 6/√3 的分母有理化为?

①2√3

②3√3

③√3

④6√3

⑤2

▸ ① 2√3

分母分子同乘 √3。

6/√3 × √3/√3 = 6√3/3

约分。

= 2√3

🎯 考试要点

①先化简! √48 + √12 → 4√3 + 2√3 = 6√3

②勿忘分母有理化

③利用 (√a)² = a

④√a × √b = √(ab) 但 √a + √b ≠ √(a+b)

⑤根号内不可为负