初中数学 平方根与实数
平方根就是把平方反过来，去找哪个数的平方等于 n。
就像面积为 2 的正方形的一条边，有些长度永远不是某个自然数的平方，却真实存在。
这类无法写成分数的数叫无理数，有理数和无理数合起来构成实数，把数轴填得毫无缝隙。
改正方形的面积，边长会落在数轴的哪个位置。
什么是平方根?
只知道平方的结果、找不回原来的数，在只给出面积的地方就没法用数称呼边长。有些长度对不上任何自然数的平方，却真实存在，落不到分数上的这种值叫无理数。有理数和无理数合在一起的实数填满数轴的空位，所以即使根号里不是完全平方，那个点仍在直线上。把平方和平方根看成一对关系，边长和面积互相还原的意思就立得住。
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在数轴上确认 √n 的位置在标着 0 到 4 的数轴上，√n 被标成一个点，点上方是根号值到小数第三位的近似，再上方写着 (√n)² = n。n 至少为 2 时，0 到 1 之间会有一条虚线直角三角形辅助线，斜边标成 √n；若 n 是某个整数的平方，下面出现完全平方的说明，否则出现夹在相邻两个平方之间的不等式。把 n 从 1 改到 16，点的位置、近似值、辅助线和下面的句子会一起变。另一幅图放大 √2 附近，上方的点是这段里的有理数，下方的点是 √2；把放大倍率从 1 升到 10，看见的区间变窄，有理数的点会更密。
👀 平方根直观
①平方根即「平方为 n 的数」。符号 √n 只表示正的平方根，n 的平方根是一正一负两个
②√4 = 2 (2² = 4)、√9 = 3 (3² = 9) 这种是完全平方数。符号只写 2、3，4 和 9 的平方根各是一对
③√2、√3 这种除不尽的为无理数。完全平方要看质因数分解的指数是否都是偶数
有理数与无理数
很容易以为根号里不是自然数就没有值。边长对不上自然数平方的正方形，仍然有那条边，只是长度落不到恰好的分数上。把负数的平方根写成实数，会超出这里用的定义范围，所以要先读大于等于 0 的数的正的平方根，以及它在直线上的位置。从平方那一侧看，可能出现符号相反的两个根，但根号这个记号本身只指其中非负的那一个。
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放大后有理数之间也存在无理数🔍 实数的结构
①有理数：可表为分数（整数、有限小数、循环小数）
②无理数：不可表为分数（√2、π 等 — 不循环无限小数）
③实数 = 有理数 + 无理数 → 填满数轴
平方根的性质
平方根的定义
a ≥ 0 时，x² = a → x = ±√a
正数 a 的平方根有 ±√a 两个
平方根的性质
(√a)² = a, √(a²) = |a|
平方根的平方为原数，平方的平方根为绝对值
⚠️ 注意点
①√9 = 3（仅取正平方根!）
②9 的平方根为 ±3（两个）
③√(-4) 在实数范围不存在
平方根的大小比较
大小比较
a > b ≥ 0 则 √a > √b
在正数上 √ 为增函数
💡 比较技巧
①√5 vs 2 → √5 vs √4 → 5 > 4 故 √5 > 2
②3 vs √10 → √9 vs √10 → 9 < 10 故 3 < √10
③只需比较根号内的数!
动手解题
例题 1
求 √64 的值。
▸ 8
平方根是平方后等于该数的非负数。
例题 2
比较 3 与 √8 的大小。
2因 9 > 8，故 √9 > √8。
√9 > √8 ⇒ 3 > √8
▸ 3 > √8
正数中根号内越大，根越大。
考试要点整理
实数分类
实数 = 有理数（整数 + 有限·循环小数）+ 无理数
数轴上每一点 = 实数
初三 校内考试 题型
√10 的整数部分(小于 √10 的最大整数)是?
▸ ② 3
1看 √10 落在哪两个整数的平方根之间：√9 < √10 < √16。
√9 < √10 < √16 ⇒ 3 < √10 < 4
🎯 考试要点
①√a 中要求 a ≥ 0（被开方数非负）
②√(a²) 不是 a 而是 |a|
③完全平方数判别：质因数分解 → 指数全为偶数
④无理数例：√2, √3, π, …（不循环无限小数）
⑤数轴上点的坐标 = 实数（实数与数轴一一对应）