初中数学 平方根与实数
平方根就是倒过来找一个平方后等于已知数的数。因为 3² = 9，所以 3 和 −3 都是 9 的平方根，而符号 √9 只表示其中的正数 3。
像面积为 2 的正方形的边长这样，有些长度真实存在，却没有哪个整数或分数的平方正好等于它。
这种不能写成分数的数叫做无理数，有理数和无理数合起来称为实数，实数把数轴填得没有一点空隙。
在图中改变 n，就能同时看到 √n 落在数轴的什么位置，以及它夹在哪两个相邻整数之间。
什么是平方根
只知道正方形的面积，要用数说出边长，就需要一种把平方还原的运算。面积是 4，边长马上答得出是 2；面积是 2 时，却没有哪个整数或分数的平方等于 2。于是用新的符号 √2 表示这个长度，这类不能写成分数的数叫做无理数。只有有理数，数轴上会留下空隙；把无理数也算进来的实数填满了这些空隙，数轴上的点与实数就一一对应了。
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改变 n 时 √n 在数轴上的位置、近似值，以及夹在相邻平方数之间的不等式第一幅图在刻度为 0 到 4 的数轴上用点标出 √n 的位置，点的上方写着近似值，最上方写着 (√n)² = n。n 不小于 2 时，用虚线画出两条直角边为 1 和 √(n − 1) 的直角三角形，说明它的斜边是 √n，不过竖直方向是缩小画的示意图。最下方，n 是完全平方数时写出这一点，否则写出 √n 夹在两个相邻整数之间的不等式。第二幅图放大 √2 附近：放得越大，有理数的点看起来越密，但始终没有一个有理数正好落在 √2 的位置。
👀 平方根的含义
①平方后等于 n 的数叫做 n 的平方根。正数 n 有两个互为相反数的平方根，符号 √n 只表示其中的正数（算术平方根）。
②像 4、9 这样，√4 = 2、√9 = 3 正好是整数的数，叫做完全平方数。
③像 √2、√3 这样开不尽的数是无理数。
④判断一个数是不是完全平方数，看它分解质因数后各指数是否都是偶数。
有理数与无理数
很容易以为被开方数不是完全平方数时就没有值，其实 √2 是数轴上确定的一个点，只是不能写成分数或有限小数而已。另外，符号 √a 只表示 a 的两个平方根中不小于 0 的那一个，所以 9 的平方根是 ±3，而 √9 只是 3。没有哪个实数的平方是负数，所以在实数范围内 √(−4) 没有意义。再记住 √(a²) 等于 |a| 而不是 a，就能少犯符号错误。
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放大 √2 附近时越来越密的有理数点，以及夹在其中的 √2🔍 实数的构成
①能写成分数的数是有理数，整数、有限小数和循环小数都属于有理数。
②不能写成分数的数是无理数，像 √2 和圆周率 π 这样，是无限不循环小数。
③有理数和无理数合起来是实数，实数把数轴填得没有空隙。
平方根的性质
平方根的定义
a ≥ 0 时，x² = a → x = ±√a
正数 a 的平方根有 √a 和 −√a 两个。
平方根的性质
(√a)² = a，√(a²) = |a|
算术平方根再平方得到原数，一个数平方后的算术平方根等于这个数的绝对值。
⚠️ 注意事项
①√9 = 3，符号 √ 只表示正的平方根。
②9 的平方根有 3 和 −3 两个。
③在实数范围内，√(−4) 没有意义。
比较平方根的大小
比较大小
若 a > b ≥ 0，则 √a > √b
对不小于 0 的数，被开方数越大，算术平方根越大。
💡 比较的窍门
①比较 √5 和 2 时，把 2 写成 √4，因为 5 > 4，所以 √5 > 2。
②比较 3 和 √10 时，把 3 写成 √9，因为 9 < 10，所以 3 < √10。
③正数之间，把各数都放进根号里，比较被开方数即可。
例题演练
例题 1
求 √64 的值。
28² = 64，且 8 是正数，所以 √64 = 8。
√64 = 8
▸ 8
√a 是平方后等于 a 的不小于 0 的数。
例题 2
比较 3 与 √8 的大小。
29 > 8，所以 √9 > √8。
√9 > √8 ⇒ 3 > √8
▸ 3 > √8
正数之间，被开方数越大，这个数就越大。
考点整理
实数的分类
实数 = 有理数（整数、有限小数、循环小数）+ 无理数
数轴上的每一个点都与一个实数一一对应。
初三 校内考试 题型
√10 的整数部分（小于 √10 的最大整数）是？
▸ ② 3
1看 √10 落在哪两个整数的平方根之间：√9 < √10 < √16。
√9 < √10 < √16 ⇒ 3 < √10 < 4
🎯 考点
①√a 中必须 a ≥ 0。
②√(a²) 等于 |a|，不是 a。
③完全平方数分解质因数后，各指数都是偶数。
④√2、√3、π 都是无理数，是无限不循环小数。
⑤数轴上的点与实数一一对应。
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