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我的单词本
初中三年级 (14-15岁)

平方根与实数

Square Roots & Real Numbers

平方根就是把平方这件事反过来,去找哪个数的平方等于 n。 就像面积为 2 的正方形的一条边,有些长度永远不是某个自然数的平方,却真实存在。 这类无法写成分数的数叫无理数,有理数和无理数合起来构成实数,把数轴填得毫无缝隙。 这个页面里,你可以改变正方形的面积,看它的边长落在数轴的哪个位置。

什么是平方根?
2
👀 平方根直观
①平方根即「平方为 n 的数」
②√4 = 2 (2² = 4)、√9 = 3 (3² = 9) 这种是完全平方数
③√2、√3 这种除不尽的为无理数
有理数与无理数
1
🔍 实数的结构
①有理数:可表为分数(整数、有限小数、循环小数)
②无理数:不可表为分数(√2、π 等 — 不循环无限小数)
③实数 = 有理数 + 无理数 → 填满数轴
平方根的性质
平方根的定义
a ≥ 0 时,x² = a → x = ±√a
正数 a 的平方根有 ±√a 两个
平方根的性质
(√a)² = a, √(a²) = |a|
平方根的平方为原数,平方的平方根为绝对值
⚠️ 注意点
①√9 = 3(仅取正平方根!)
②9 的平方根为 ±3(两个)
③√(-4) 在实数范围不存在
平方根的大小比较
大小比较
a > b ≥ 0 则 √a > √b
在正数上 √ 为增函数
💡 比较技巧
①√5 vs 2 → √5 vs √4 → 5 > 4 故 √5 > 2
②3 vs √10 → √9 vs √10 → 9 < 10 故 3 < √10
③只需比较根号内的数!
动手解题
例题 1
求 √64 的值。
1
把 64 写成某数的平方。
64 = 8²
2
√(8²) = 8。
√64 = 8
8
平方根是平方后等于该数的非负数。
例题 2
比较 3 与 √8 的大小。
1
把 3 写成根号:3 = √9。
3 = √9
2
因 9 > 8,故 √9 > √8。
√9 > √8 ⇒ 3 > √8
3 > √8
正数中根号内越大,根越大。
考试要点整理
实数分类
实数 = 有理数(整数 + 有限·循环小数)+ 无理数
数轴上每一点 = 实数
初三 校内考试 题型
√10 的整数部分(小于 √10 的最大整数)是?
2
3
4
9
10
② 3
1
看 √10 落在哪两个整数的平方根之间:√9 < √10 < √16。
√9 < √10 < √16 ⇒ 3 < √10 < 4
2
整数部分为 3。
√10 的整数部分 = 3
🎯 考试要点
①√a 中要求 a ≥ 0(被开方数非负)
②√(a²) 不是 a 而是 |a|
③完全平方数判别:质因数分解 → 指数全为偶数
④无理数例:√2, √3, π, …(不循环无限小数)
⑤数轴上点的坐标 = 实数(实数与数轴一一对应)
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含根号的式的运算
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