初三数学›平方根与实数

平方根与实数

Square Roots & Real Numbers

什么是平方根?
2
👀 平方根直观
①平方根即「平方为 n 的数」
②√4 = 2 (2² = 4)、√9 = 3 (3² = 9) 这种是完全平方数
③√2、√3 这种除不尽的为无理数
有理数与无理数
1
🔍 实数的结构
①有理数：可表为分数（整数、有限小数、循环小数）
②无理数：不可表为分数（√2、π 等 — 不循环无限小数）
③实数 = 有理数 + 无理数 → 填满数轴
平方根的性质
平方根的定义
a ≥ 0 时，x² = a → x = ±√a
正数 a 的平方根有 ±√a 两个
平方根的性质
(√a)² = a, √(a²) = |a|
平方根的平方为原数，平方的平方根为绝对值
⚠️ 注意点
①√9 = 3（仅取正平方根!）
②9 的平方根为 ±3（两个）
③√(-4) 在实数范围不存在
平方根的大小比较
大小比较
a > b ≥ 0 则 √a > √b
在正数上 √ 为增函数
💡 比较技巧
①√5 vs 2 → √5 vs √4 → 5 > 4 故 √5 > 2
②3 vs √10 → √9 vs √10 → 9 < 10 故 3 < √10
③只需比较根号内的数!
考试要点整理
实数分类
实数 = 有理数（整数 + 有限·循环小数）+ 无理数
数轴上每一点 = 实数
🎯 考试要点
①√a 中要求 a ≥ 0（被开方数非负）
②√(a²) 不是 a 而是 |a|
③完全平方数判别：质因数分解 → 指数全为偶数
④无理数例：√2, √3, π, …（不循环无限小数）
⑤数轴上点的坐标 = 实数（实数与数轴一一对应）