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初中二年级 (13-14岁)

初中数学 三角形的性质

三角形是由三条边、三个角组成的最简单的多边形，三条边的长度一确定，形状也就固定了，所以它是很稳固的图形。 两条边相等的等腰三角形，两个底角总是相等；任何三角形的三个内角加起来都是 180°。 在一个顶点处延长一边得到的外角，等于与它不相邻的两个内角之和，许多角度题一步就能解决。 在两幅图中改变角的大小，就能验证这些性质在数值上是怎样吻合的。

等腰三角形的两个底角

65°
👀 等腰三角形的性质
①在 AB = AC 的等腰三角形中，两个底角 ∠B 和 ∠C 相等。
②顶角的平分线垂直平分底边，图中的虚线就是它。
③反过来，有两个角相等的三角形，这两个角所对的边也相等，它是等腰三角形。
④底角变大时，顶角就变成 180° − 2 ×（底角），随之变小。

内角与外角

50°
60°
三角形内角和
∠A + ∠B + ∠C = 180°
过点 A 作 BC 的平行线，利用内错角把三个角集中到一条直线上，正好是 180°。
外角的性质
（∠C 的外角）= ∠A + ∠B
外角与 ∠C 的和是 180°，∠A + ∠B + ∠C 也是 180°，所以外角等于 ∠A + ∠B。

等边三角形与直角三角形

💡 特殊三角形
①等边三角形三条边相等，三个角都是 60°。
②直角三角形有一个角是 90°，所以两个锐角的和是 90°。
③等腰直角三角形的三个角是 90°、45°、45°，斜边长是直角边的 √2 倍。

三角形全等的判定

全等三角形的判定
SSS · SAS · ASA
SSS 是三边，SAS 是两边及其夹角，ASA 是两角及其夹边分别相等。
📝 三种判定方法
①SSS（边边边）：三组对应边分别相等，两个三角形全等。
②SAS（边角边）：两组对应边分别相等，且它们的夹角相等，两个三角形全等。
③ASA（角边角）：两组对应角分别相等，且它们的夹边相等，两个三角形全等。
④直角三角形还有“斜边和一条直角边分别相等”（HL）的判定，但一般三角形不能用。

例题演练

例题 1
等腰三角形的顶角为 40° 时，求一个底角的大小。
1
等腰三角形的两个底角相等，三个角的和是 180°。
两底角之和 = 180° − 40° = 140°
2
两个底角相等，所以除以 2。
一个底角 = 140° ÷ 2 = 70°
▸ 70°
等腰三角形的两个底角相等。
例题 2
三角形的两个内角为 50°, 60° 时，求其余一个内角的外角的大小。
1
第三个顶点处的外角等于与它不相邻的两个内角 50° 与 60° 之和。
外角 = 50° + 60°
2
把两个角相加。
= 110°
▸ 110°
先求出第三个内角 70°，再用 180° 减去它，也得到同样的答案。

考点整理

三角形性质的要点
内角和 180° · 外角等于不相邻两内角之和 · 全等判定 SSS、SAS、ASA
等腰三角形两底角相等的性质考得最多。
初二 校内考试 题型
等腰三角形的一个底角为 65° 时，顶角是多少？
①40°
②45°
③50°
④55°
⑤65°
▸ ③ 50°
1
两个底角相等，所以它们的和是 65° × 2 = 130°。
两底角之和 = 65° × 2 = 130°
2
用内角和 180° 减去它。
顶角 = 180° − 130° = 50°
🎯 考点
①在等腰三角形中，“两边相等”和“两底角相等”可以互相推出。
②外角等于不相邻的两个内角之和，不必逐个求内角就能直接得出答案。
③证明全等时，要从已知条件中找出符合 SSS、SAS、ASA 中的哪一种。
④等边三角形的每个内角都是 60°。
⑤SAS 中的角必须是两边的夹角；不是夹角时，即使相等也不一定全等。
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