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初中二年级 (13-14岁)

初中数学 一次函数与一次方程

一次函数 y = ax + b 和一次方程 ax + b = 0，是从两个方向读同一个式子。 图象与x轴相交的地方 y 等于 0，所以那个点的横坐标正好就是方程的解。 含两个未知数的 ax + by + c = 0 画在坐标平面上也是一条直线，两条直线的交点坐标就是方程组的解。 在第一幅图里改变斜率或截距，x轴上的红点会跟着移动，这个点就是方程的答案。

x轴截距就是方程的解

2
-4
👀 用图象解方程
①直线 y = ax + b 与x轴相交的点上，y = 0。
②所以这个点的横坐标满足 ax + b = 0，方程的解就是图象与x轴交点的横坐标。
③斜率为 0 时直线与x轴平行，不会相交：b ≠ 0 时方程无解，b = 0 时直线与x轴重合，任意 x 都是解。

二元一次方程的图象

2
-1
3
二元一次方程
ax + by + c = 0 → 坐标平面上的一条直线
b ≠ 0 时可以化成 y = −(a/b)x − c/b，看作一次函数；b = 0 时它是竖直的直线 x = −c/a。

方程组的解与交点

核心关系
方程组的解 (x, y) = 两条直线的交点
同时满足两个方程的点，就是同时落在两条直线上的点。
💡 交点个数的三种情况
①斜率不同，两条直线交于一点，方程组有唯一解。
②斜率相同而截距不同，两条直线平行、不相交，方程组无解。
③斜率和截距都相同，两条直线重合，方程组有无数个解。

x = k 与 y = k 的图象

📝 水平直线与竖直直线
①y = 2 就是 0·x + y − 2 = 0，是平行于x轴的水平直线，也是斜率为 0 的函数。
②x = 3 就是 x + 0·y − 3 = 0，是平行于y轴的竖直直线。
③在 x = 3 上，一个 x 对应无数个 y，所以它不是函数。把上图中的 b 调到 0，就会出现这样的竖直直线。

例题演练

例题 1
把直线方程 2x + y − 4 = 0 写成 y = ax + b 形式。
1
把 2x 和 −4 移到右边，左边只留下 y。
y = −2x + 4
2
读出斜率与 y 轴截距。
斜率 −2，y 轴截距 4
▸ y = −2x + 4
把 ax + by + c = 0 解成关于 y 的式子，斜率和截距就一目了然。
例题 2
求两直线 y = x + 1 与 y = −x + 5 的交点坐标。
1
交点处两条直线的 y 相等，所以令两个式子的右边相等。
x + 1 = −x + 5 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
2
把 x = 2 代入其中一个式子求 y。
y = 2 + 1 = 3
▸ (2, 3)
两条直线的交点坐标，就是把两个一次方程联立求出的解。

考点整理

同一关系的三种写法
y = ax + b ↔ ax − y + b = 0 ↔ 坐标平面上的直线
把同一个关系在函数式、方程和图象之间来回转换着读。
初二 校内考试 题型
两直线 y = ax + 1 与 y = 3x − 2 平行时，常数 a 的值是？
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
平行的两条直线斜率相等、截距不同。
a = 3
2
截距 1 和 −2 不同，所以两条直线不重合。
1 ≠ −2 ⇒ 平行
🎯 考点
①一次方程 ax + b = 0 的解是 y = ax + b 与x轴交点的横坐标（代入 y = 0）。
②ax + by + c = 0 的图象是直线。
③方程组的解是两条直线的交点。
④x = k 是竖直直线，不是函数；y = k 是斜率为 0 的函数。
⑤y = a₁x + b₁ 与 y = a₂x + b₂ 平行的条件是 a₁ = a₂ 且 b₁ ≠ b₂。
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