初中二年级 (13-14岁)

初中数学一次函数与图象

无论 a、b 取什么值，一次函数 y = ax + b 的图象都是一条直线。斜率 a 表示 x 增加 1 时 y 变化多少，它的绝对值越大，直线越陡。截距 b 是直线与 y 轴相交的高度，只改变 b 时，直线的倾斜程度不变，只是上下平移。图中蓝色虚线三角形从绿点出发，向右走 1 格再上升或下降 a，所以改变斜率时它的竖边也跟着变化。

均匀变化的关系

👀 什么是一次函数

①x 每增加 1，y 总是变化相同的量，这样的关系叫做一次函数，解析式为 y = ax + b（a ≠ 0）。

②以每小时 30 km 的速度行驶的汽车，每过 1 小时行驶的路程就增加 30 km，路程是时间的一次函数。

③把变化率不变的关系逐点画在坐标平面上，所有的点都落在同一条直线上。

斜率与截距

斜率 a2

截距 b1

一次函数的解析式

y = ax + b

a 是斜率（x 增加 1 时 y 的变化量），b 是 y 轴上的截距（x = 0 时 y 的值）。

斜率告诉我们什么

斜率公式

a = y的增量x的增量 = y₂ - y₁x₂ - x₁

知道直线上的两个点，就用两点间 y 的变化量除以 x 的变化量求出斜率。

💡 斜率的正负与大小

①a > 0 时，直线从左往右上升。

②a < 0 时，直线从左往右下降。

③|a| 越大，直线越陡。在图中把斜率从 1 调到 3，虚线三角形的竖边会变成原来的 3 倍。

④a = 0 时，x 变化而 y 不变，直线是水平的，这时它是常函数而不是一次函数。

⑤当前直线朝哪个方向倾斜，写在图的左上角。

画图象与读图象

📝 画图象的步骤

①在 y 轴上高度为 b 的位置描一个点（图中的绿点）。

②从这个点向右走 1，再向上走 a（a 为负数时向下），描出第二个点，蓝色虚线三角形表示的就是这一步。

③过这两点画直线。

④需要与 x 轴的交点时，代入 y = 0 求出 x = −b/a。

⑤斜率相同、截距不同的两条直线互相平行。

例题演练

例题 1

求一次函数 y = 2x − 3 的斜率和截距。

在 y = ax + b 中，x 的系数 a 是斜率，常数项 b 是截距。

a = 2, b = −3

直接从式子中读出这两个值。

斜率 2，截距 −3

▸ 斜率 2，截距 −3

只要式子已经整理成 y = ax + b 的形式，不用计算就能读出 a 和 b。

例题 2

求经过 (1, 3) 和 (4, 9) 两点的直线的斜率。

斜率等于 y 的增加量除以 x 的增加量。

斜率 = (9 − 3) / (4 − 1)

分别算出分子和分母。

= 6 / 3 = 2

▸ 2

已知两点时，用纵坐标之差除以横坐标之差求斜率。两点相减的顺序反过来，结果也一样。

小结

一次函数图象的要点

y = ax + b → 斜率 a，截距 b，与 x 轴交点 x = −b/a

斜率的正负决定直线的方向，绝对值的大小决定直线的陡峭程度。

八年级期中考试

一次函数 y = 3x − 6 的图象与 x 轴交点的横坐标是多少？

①−6

②−2

③2

④3

⑤6

▸ ③ 2

与 x 轴的交点处 y = 0。

0 = 3x − 6

解这个关于 x 的方程。

3x = 6 ⇒ x = 2

🎯 考点

①已知两点时，先求斜率，再把其中一点的坐标代入 y = ax + b 求 b。

②两条平行直线的斜率相等、截距不同（a₁ = a₂，b₁ ≠ b₂）。

③与 x 轴的交点代入 y = 0 求得。

④与 y 轴的交点代入 x = 0 求得。

⑤看斜率和截距的正负，就能知道图象经过哪几个象限。

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一次函数与一次方程

最后更新 2026-10-17

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