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初中二年级 (13-14岁)

初中数学 一元一次方程组

解方程组，就是找出同时满足两个二元方程的值。 买苹果和梨一共 10 个、付了 13 元，就要分别列出关于个数的方程和关于钱数的方程，一起解出来，才能确定苹果和梨各有几个。 解法有两种：把两个方程相加或相减消去一个未知数的加减消元法，以及把一个方程化成 y = … 再代入另一个方程的代入消元法。 从图象看，每个方程都是一条直线，两条直线交点的坐标，就是同时满足两个方程的解。

同时满足两个条件的点

1
1
-1
3
👀 两条直线的交点
①直线 1 上的点都满足 y = ax + b。
②直线 2 上的点都满足 y = cx + d。
③只有同时在两条直线上的交点才同时满足两个方程，所以交点坐标就是方程组的解。在图中移动直线，交点坐标会连分数都准确地显示出来。

加减消元：消去一个未知数

📝 加减消元的解法
①设 x + y = 5 …
①，x − y = 1 …
②。
②
①与
②左右两边分别相加，y 被消去，得 2x = 6，x = 3。
③把 x = 3 代入
①，得 3 + y = 5，所以 y = 2。
④检验：代入
②也有 3 − 2 = 1，成立。
加减消元的要点
使某个未知数的系数相等（或互为相反数），再把两个方程相减（或相加）
系数不同时，先给每个方程乘上适当的数使它们相等。

代入消元：把一个方程代入另一个

📝 代入消元的解法
①设 y = 2x − 1 …
①，3x + y = 9 …
②。
②把
①中的 y 直接代入
②，得 3x + (2x − 1) = 9。
③整理得 5x − 1 = 9，5x = 10，所以 x = 2。
④把 x = 2 代入
①，得 y = 2 × 2 − 1 = 3。
代入消元的要点
把一个方程化成 y = （含 x 的式子）→ 代入另一个方程中的 y
某个未知数的系数是 1，或方程已经是 y = … 的形式时，用代入消元更方便。

解的个数与图象

💡 方程组有几个解
①两条直线斜率不同，就相交于一点，方程组有唯一解。
②斜率相同而截距不同，两条直线平行、不相交，方程组无解。
③斜率和截距都相同，两条直线重合，方程组有无数个解。在图中把两个斜率调成相同，就能看到这两种情况。

例题演练

例题 1
用加减法解方程组 x + y = 5, x − y = 1。
1
两个方程左右两边分别相加，消去 y。
(x + y) + (x − y) = 5 + 1 ⇒ 2x = 6
2
把 x = 3 代入其中一个方程求 y。
x = 3, y = 5 − 3 = 2
▸ x = 3, y = 2
加减消元就是先使某个未知数的系数相同，再相加或相减把它消去。
例题 2
用代入法解方程组 y = 2x − 1, 3x + y = 9。
1
把第一个方程中的 y 代入第二个方程中 y 的位置。
3x + (2x − 1) = 9 ⇒ 5x = 10
2
把 x = 2 代入第一个方程。
x = 2, y = 2·2 − 1 = 3
▸ x = 2, y = 3
一个方程已是 y = （式子）的形式时，用代入消元更方便。

考点整理

解方程组的策略
加减消元：配系数 → 相加或相减 代入消元：化成 y = … → 代入
两种方法的核心都是消去一个未知数，化成一个一元一次方程。
初二 校内考试 题型
方程组 x + ay = 7, 2x − y = 4 的解为 x = 3, y = 2 时，常数 a 的值是？
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ② 2
1
把解 x = 3，y = 2 代入第一个方程。
3 + a·2 = 7
2
解出 a。
2a = 4 ⇒ a = 2
🎯 考点
①系数简单时用加减消元，某个方程已是 y = … 时用代入消元更快。
②两式相减时，减式的每一项都要变号。
③求出解后，代入两个方程检验。
④应用题中有两个未知数，要根据两个条件列出两个方程。
⑤在图象上，两条直线交点的坐标就是方程组的解。
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