一元一次方程组

System of Linear Equations

二元一次方程组是要找出同时满足两个方程的两个未知数的值。买苹果和梨时，把件数和金额各列一个方程，一起求解就能知道各买了几个。可以把一个字母用另一个表示后代入，或者把两式相加减来消去一个字母。这个页面里，你会看到两条直线图象的交点正好就是方程组的解。

直觉 — 同时满足两个条件

直线1斜率1

直线1 y截距1

直线2斜率-1

直线2 y截距3

👀 两直线相交的点

①第一条直线上的点满足 y = ax + b

②第二条直线上的点满足 y = cx + d

③交点: 同时满足两式的唯一 (x, y)

加减消元法 — 消去一个未知数

📝 加减法示例

①x + y = 5 …

①

②x - y = 1 …

②

③

①+

②: 2x = 6 → x = 3

④代入

①: 3 + y = 5 → y = 2

加减法核心

把一个未知数的系数变相同或相反 → 相加或相减

若系数不同，需乘适当数使其匹配

代入消元法 — 一个式代入另一个

📝 代入法示例

①y = 2x - 1 …

①

②3x + y = 9 …

②

③把

①代入

②: 3x + (2x - 1) = 9

④5x - 1 = 9 → x = 2

⑤y = 2(2) - 1 = 3

代入法核心

把一式整理为 y = (x式) → 代入另一式

某未知数系数为1时使用代入法最方便

解的个数

💡 方程组的解有几个？

①两直线相交于一点 → 1解（一般）

②两直线平行 → 无解（无解）

③两直线重合 → 无穷多解（不定）

动手解题

例题 1

用加减法解方程组 x + y = 5, x − y = 1。

两式逐项相加可消去 y。

(x + y) + (x − y) = 5 + 1 ⇒ 2x = 6

把 x = 3 代入其中一式。

x = 3, y = 5 − 3 = 2

▸ x = 3, y = 2

加减法是使某一未知数系数相同后相加减以消元。

例题 2

用代入法解方程组 y = 2x − 1, 3x + y = 9。

把第一式代入第二式的 y。

3x + (2x − 1) = 9 ⇒ 5x = 10

代入 x = 2。

x = 2, y = 2·2 − 1 = 3

▸ x = 2, y = 3

当一式为 y = (式) 时，代入法更方便。

考试要点整理

方程组解题策略

加减法: 凑系数→加减代入法: y= 形→代入

两法核心都是消去一个未知数

初二校内考试题型

方程组 x + ay = 7, 2x − y = 4 的解为 x = 3, y = 2 时，常数 a 的值是?

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ② 2

把解 (3, 2) 代入第一式。

3 + a·2 = 7

解出 a。

2a = 4 ⇒ a = 2

🎯 考试要点

①加减法 vs 代入法: 系数简单→加减、已经是y=形→代入

②匹配系数时注意符号（减法时全项变号）

③求解后务必代回原式两式验证

④应用题: 2未知数 → 需2式

⑤图象: 交点坐标 = 方程组的解