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初中二年级 (13-14岁)

初中数学 四边形的性质

窗户、书的封面、地砖都是由四条边围成的四边形，其中两组对边分别平行的叫做平行四边形。 平行四边形的对边相等，对角相等，两条对角线互相平分。 再加上四个角都是直角的条件，它就成为长方形（矩形）；加上四条边都相等的条件，就成为菱形；两个条件都具备，就成为正方形。 在图中把 ∠A 调到 90°，或把两边的比调到 1，就能看到同一个平行四边形每多一个条件，名称和性质就随之改变。

从平行四边形到正方形

65°
0.7
👀 几种四边形之间的关系
①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
②平行四边形的一个角变成 90° 时，四个角都是 90°，成为长方形，这时两条对角线相等。
③平行四边形的一组邻边相等时，四条边都相等，成为菱形，这时两条对角线互相垂直。
④两个条件都具备的是正方形，它同时具有长方形和菱形的性质。

平行四边形的性质

平行四边形的三条性质
对边相等 · 对角相等 · 对角线互相平分
一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形（ASA），三条性质都由此得出。
💡 平行四边形的判定
①两组对边分别平行（定义）。
②两组对边分别相等。
③两组对角分别相等。
④对角线互相平分。
⑤一组对边平行且相等。满足其中任意一条，就是平行四边形。

长方形、菱形、正方形

长方形特有的性质
四个角都是 90°，两条对角线相等
有一个角是 90° 的平行四边形是长方形（矩形）。
菱形特有的性质
四条边都相等，两条对角线互相垂直
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
正方形
既是长方形又是菱形的四边形 = 正方形
四边相等、四角都是 90°，所以对角线相等，并且互相垂直平分。

几种四边形的包含关系

📝 包含关系
①正方形 ⊂ 长方形 ⊂ 平行四边形。
②正方形 ⊂ 菱形 ⊂ 平行四边形。
③正方形既是长方形，也是菱形。
④我国教材把梯形定义为只有一组对边平行的四边形，所以平行四边形不是梯形。

例题演练

例题 1
平行四边形中一个内角为 110° 时，求与它相邻的内角的大小。
1
平行四边形中相邻两内角之和为 180°。
相邻角 = 180° − 110°
2
计算。
= 70°
▸ 70°
平行四边形对角相等，相邻两角之和为 180°。
例题 2
平行四边形 ABCD 中 AB = 8, BC = 5 时，求周长。
1
平行四边形两组对边分别相等。
周长 = 2 × (8 + 5)
2
计算。
= 26
▸ 26
平行四边形的对边长度相等。

考点整理

四边形性质的脉络
平行四边形 → 长方形或菱形 → 正方形
弄清每一步多加的是哪一个条件。
初二 校内考试 题型
平行四边形中相邻两内角 ∠A, ∠B 的大小之比为 2 : 3 时，∠A 是多少？
①60°
②72°
③90°
④108°
⑤120°
▸ ② 72°
1
相邻两角之和为 180°，故 2k + 3k = 180°。
2k + 3k = 180° ⇒ 5k = 180°
2
k = 36°，故 ∠A = 2k。
∠A = 2 × 36° = 72°
🎯 考试要点
①证明一个四边形是平行四边形，只需证明五个判定条件中的任意一个。
②长方形是在平行四边形上加“有一个角是 90°”或“对角线相等”的条件。
③菱形是在平行四边形上加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件。
④面积：平行四边形 = 底 × 高，菱形 = 两条对角线之积 ÷ 2。
⑤平行四边形相邻两个角的和是 180°。
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