图形的相似

Similarity of Figures

相似指的是形状相同、只有大小不同的两个图形之间的关系。就像放大或缩小照片时人物比例保持不变一样，相似图形对应边的长度比始终相同，对应角也相等。这个固定的比叫做相似比，面积比是相似比的平方，体积比是它的立方。在这个页面里，你可以改变图形的大小，观察边和面积如何随相似比而变化。

直觉 — 与照片放大缩小相同

相似比1.5

📱 用照片理解相似

①把照片放大: 形状不变，大小改变

②这就是相似！

③条件: 对应角全部相等

④对应边的比都相同

⑤放大倍率 = 相似比

AA相似 — 两角相等即相似！

角A50°

角B70°

三角形相似的3个条件

AA、SAS相似、SSS相似

考试最常用是AA相似

💡 相似条件详解

①AA: 两组对应角相等 → 相似（第三角自动确定）

②SAS相似: 两边比相等且夹角相等

③SSS相似: 三边比都相等

④实战中90%用AA即可

相似比、面积比、体积比

相似比 → 面积比

相似比 m : n → 面积比 m² : n²

面积是二维所以比要平方

相似比 → 体积比

相似比 m : n → 体积比 m³ : n³

体积是三维所以比要立方

📝 为何平方与立方？

①正方形边变2倍 → 面积变4倍

②立方体边变2倍 → 体积变8倍

③面积=长×长、体积=长×长×长

④相似比1:2 → 面积1:4、体积1:8

相似在生活中的应用

🌳 用影子求树高

①同一时刻自己与树都投影

②阳光平行 → 形成相似三角形

③我的身高:我的影长 = 树高:树影长

④列比例求解

🗺️ 地图比例尺也是相似

①比例尺1:50000 = 相似比1:50000

②地图2cm = 2 × 50000 = 1km

③模型建筑10cm、比例尺1:100 → 实际10m

动手解题

例题 1

相似比为 2 : 3 的两个三角形中，较小三角形的一边为 4，求较大三角形对应边的长。

对应边长之比等于相似比。

2 : 3 = 4 : x

解比例。

2x = 12 ⇒ x = 6

▸ 6

相似图形对应边之比为定值(相似比)。

例题 2

求相似比为 2 : 3 的两个图形的面积比。

面积比是相似比的平方。

面积比 = 2² : 3²

计算。

= 4 : 9

▸ 4 : 9

相似比为 m : n 时，面积比为 m² : n²。

考试要点整理

相似核心公式

AA相似 → 对应边比=相似比 → 面积比=相似比²

AA最快、考试最常出现

初二校内考试题型

相似比为 1 : 2 的两个三角形中，较小三角形面积为 5，较大三角形面积是?

①10

②15

③20

④25

⑤40

▸ ③ 20

面积比是相似比的平方，故 1² : 2² = 1 : 4。

面积比 = 1 : 4

为较小面积的 4 倍。

5 × 4 = 20

🎯 考试要点

①AA: 两角相等即相似（不需第三角）

②相似比=对应边的比（每对对应边比相同）

③面积比=相似比²、体积比=相似比³不要混淆

④影子题: 阳光平行 → 相似三角形

⑤对应顺序: ABC~DEF 即 A↔D、B↔E、C↔F