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初中二年级 (13-14岁)

初中数学 图形的相似

相似是形状完全相同、只是大小不同的两个图形之间的关系。 就像照片放大或缩小后人物的样子不变一样，相似图形的对应角都相等，对应边的长度之比也都相等。 这个固定的比叫做相似比；长度变成 2 倍时面积变成 4 倍、体积变成 8 倍，所以面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。 对于三角形，只要有两个角相等，第三个角也自然相等，所以只要检查两个角就能判定相似。

放大与缩小

1.5
📱 用照片理解相似
①用两根手指把手机照片放大，形状不变，只是变大了，这就是相似。
②两个相似图形的对应角都相等。
③对应边的长度之比也都相等，这个比就是相似比。
④在图中把 k 设为 1.5，AB = 80 的边变成 A'B' = 120，另外两条边也同样变成 1.5 倍。

两角相等即相似

50°
70°
三角形相似的判定
三边成比例 · 两边成比例且夹角相等 · 两角分别相等
三个判定中，考试最常用的是“两角分别相等”。
💡 三种判定方法
①三组对应边的比都相等，两个三角形相似。
②两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等，两个三角形相似。
③两组对应角分别相等，两个三角形相似。三角形内角和是 180°，所以剩下的角自然相等。
④在图中改变 ∠A 和 ∠B，大小不同的两个三角形的第三个角总是跟着取相同的值。

相似比、面积比与体积比

相似比与面积比
相似比 m : n → 面积比 m² : n²
面积是长度乘长度，所以比要平方。
相似比与体积比
相似比 m : n → 体积比 m³ : n³
体积是三个长度的乘积，所以比要立方。
📝 为什么是平方和立方
①正方形的边长扩大到 2 倍，长和宽都变成 2 倍，所以面积变成 2 × 2 = 4 倍。
②正方体的棱长扩大到 2 倍，长、宽、高都变成 2 倍，所以体积变成 2 × 2 × 2 = 8 倍。
③所以相似比为 1 : 2 时，面积比是 1 : 4，体积比是 1 : 8。

生活中的相似

🌳 用影子测树高
①在同一时刻，量出自己和树的影子长度。
②阳光是平行照射的，所以人、影子、光线构成的三角形与树、影子、光线构成的三角形相似（两角分别相等）。
③（身高）：（人的影长）=（树高）：（树的影长）。
④解这个比例式，不用爬上去也能求出树的高度。
🗺️ 地图的比例尺与模型
①比例尺为 1 : 50000 的地图，与实际地面的相似比是 1 : 50000。
②地图上的 2 cm，实际是 2 × 50000 = 100000 cm，也就是 1 km。
③相似比为 1 : 100 的建筑模型高 10 cm，实际高度就是 1000 cm，也就是 10 m。

例题演练

例题 1
相似比为 2 : 3 的两个三角形中，较小三角形的一边为 4，求较大三角形对应边的长。
1
对应边长之比等于相似比。
2 : 3 = 4 : x
2
解比例。
2x = 12 ⇒ x = 6
▸ 6
相似图形对应边之比为定值（相似比）。
例题 2
求相似比为 2 : 3 的两个图形的面积比。
1
面积比是相似比的平方。
面积比 = 2² : 3²
2
计算。
= 4 : 9
▸ 4 : 9
相似比为 m : n 时，面积比为 m² : n²。

考点整理

相似的思路
两角分别相等 → 对应边之比 = 相似比 → 面积比 = (相似比)²
证明相似时“两角分别相等”最快，也最常考。
初二 校内考试 题型
相似比为 1 : 2 的两个三角形中，较小三角形面积为 5，较大三角形面积是？
①10
②15
③20
④25
⑤40
▸ ③ 20
1
面积比是相似比的平方，故 1² : 2² = 1 : 4。
面积比 = 1 : 4
2
为较小面积的 4 倍。
5 × 4 = 20
🎯 考点
①用“两角分别相等”判定相似，两个角就够了，不必再验证第三个角。
②相似比是对应边的长度之比，每一组对应边都相同。
③面积比是相似比的平方，体积比是立方，不要混淆。
④影子问题要从阳光平行找出相似三角形。
⑤若 △ABC ∽ △DEF，则 A 与 D、B 与 E、C 与 F 对应，书写时要按对应顺序。
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