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初中二年级 (13-14岁)

初中数学 平行线与线段比

几条平行线截两条直线时，一条直线上截得的线段之比，会原样出现在另一条直线上。 截得的长度本身因直线而异，但长短的比例由平行线原封不动地搬了过去。 在三角形中，平行于一边的线段把另外两边分成相同的比，而连接两边中点的线段平行于第三边，长度恰好是它的一半。 在第一幅图中，a、b、c、d 四段长度各不相同，但 a : b 和 c : d 总是同步变化、始终相等。

平行线传递比例

2
👀 平行线与线段的比
①三条平行线 ℓ₁、ℓ₂、ℓ₃ 截两条直线，在一条直线上截得线段 a、b，在另一条上截得线段 c、d。
②两条直线倾斜程度不同，所以 a 与 c、b 与 d 的长度不同。
③即便如此，a : b = c : d 总是成立。在图中改变比值，四段长度都会变，但两个比始终同步变化。

三角形中的平行线

0.5
三角形与平行线
DE ∥ BC → AD : AB = AE : AC = DE : BC
平行于一边的线段把另外两边分成相同的比，因为 △ADE 与 △ABC 相似。

三角形中位线定理

中位线定理
D, E为中点 → DE ∥ BC, DE = 12BC
连接三角形两边中点的线段平行于第三边，并且等于第三边的一半。
💡 怎样理解中位线定理
①设 D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 AD : AB = AE : AC = 1 : 2。
②所以 △ADE 是把 △ABC 缩小为 1/2 的相似三角形，DE ∥ BC。
③相似比为 1 : 2，所以 DE = BC/2。在上图中把值调到 0.5，四段上会出现等长标记，这个关系就显现出来了。

平行线与比例的应用

📝 三种常见用法
①梯形中有平行于底边的线时，用平行线分线段成比例列比例式。
②三角形中有平行线时，用相似比求未知边的长度。
③给出两个中点时，用中位线定理直接把长度乘 2 或除以 2。

例题演练

例题 1
△ABC 中 DE ∥ BC，AD = 3, DB = 6, AE = 4，求 EC 的长。
1
平行线截三角形的两边，所以 AD : DB = AE : EC。
3 : 6 = 4 : EC
2
比例式中内项之积等于外项之积。
3 × EC = 24 ⇒ EC = 8
▸ EC = 8
在三角形中，平行于一边的直线把另外两边分成相同的比。
例题 2
三条平行线把一条直线分成 1 : 2。在另一条直线上对应部分为 3 与 x，求 x。
1
平行线把两条直线分成相同的比。
1 : 2 = 3 : x
2
比例式中内项之积等于外项之积。
1 × x = 2 × 3 ⇒ x = 6
▸ x = 6
平行线截得的线段之比，在哪条直线上量都一样。

考点整理

平行线分线段成比例
ℓ₁ ∥ ℓ₂ ∥ ℓ₃ → a : b = c : d
平行线传递的是比例而不是长度，这句话贯穿整个单元。
初二 校内考试 题型
△ABC 中，AB, AC 的中点分别为 M, N，若 BC = 10，则 MN 的长是？
①4
②5
③6
④8
⑤10
▸ ② 5
1
由中位线定理，MN 平行于 BC，长度是 BC 的一半。
MN = (1/2) × BC
2
代入 BC = 10。
= (1/2) × 10 = 5
🎯 考点
①三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
②三角形中若 DE ∥ BC，则 AD : DB = AE : EC。
③中位线定理最常考：连接两边中点的线段平行于第三边且等于它的一半。
④解比例式用“内项之积等于外项之积”（a : b = c : d → ad = bc）。
⑤注意逆命题：在三角形中，把两边分成相同比的线段平行于第三边；但三条直线截两条直线所得线段成比例，这三条直线不一定平行。
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