seegongsik
初中二年级 (13-14岁)

初中数学 计数与概率

概率是用 0 到 1 之间的数来表示某件事发生的可能性大小。 掷一枚骰子，1 到 6 这六个点数出现的可能性相同，所以把想要的结果数除以 6，就得到概率。 因此，概率的出发点是不重不漏地数出所有可能的结果，而树状图是最可靠的工具。 硬币每多掷一次，树状图的每条枝都会一分为二，结果数就翻一倍，这就是乘法原理。

所有可能出现的结果

3
👀 什么是概率
①掷骰子会出现 1 到 6 中的一个点数，每个点数出现的可能性相同。
②点数不大于 3 的结果有 1、2、3，共 3 种。
③概率等于所求结果数除以所有结果数，所以是 3/6 = 1/2。在图中改变 n，涂色的骰子个数和长条的长度会一起变化。

用树状图数结果

2
加法原理
不能同时发生的两个事件 A、B → A 或 B 的结果数 = m + n
如果两个事件可以同时发生，重叠的结果要减去一次。
乘法原理
A 有 m 种，对其中每一种 B 都有 n 种 → A 和 B 先后发生的结果数 = m × n
在树状图中，每经过一层，枝的数量就相乘一次。

概率的基本性质

概率的含义
P(A) = 事件A发生的情况数所有情况数
在所有结果出现的可能性都相同时使用，取值满足 0 ≤ P(A) ≤ 1。
💡 概率的取值范围
①必然事件的概率是 1，比如掷骰子点数不大于 6。
②不可能事件的概率是 0，比如掷出 7 点。
③所以任何事件的概率都在 0 和 1 之间（含 0 和 1）。
④事件 A 发生的概率与不发生的概率之和等于 1。

用对立事件计算

对立事件的概率
P(Ac) = 1 - P(A)
A 不发生的概率 = 1 − （A 发生的概率）
📝 看到“至少”就想对立事件
①掷两枚硬币，求至少一枚正面朝上的概率。
②可以把正正、正反、反正一个个数出来，但它的对立事件“全是反面”只有反反一种，数起来容易得多。
③P（至少一枚正面）= 1 − P（全是反面）= 1 − 1/4 = 3/4。树状图中用红字写出的末端，正是这个对立事件。

例题演练

例题 1
掷一枚骰子时，求出现偶数或 3 的倍数点数的情形数。
1
偶数为 {2, 4, 6} 共 3 种，3 的倍数为 {3, 6} 共 2 种，重叠(6)为 1 种。
3 + 2 − 1
2
把重叠减去一次再相加。
= 4 (种)
▸ 4 种
有重叠的事件不用互斥加法，而用 n(A)+n(B)−n(A∩B) 计数。
例题 2
掷一枚骰子时，求出现质数点数的概率。
1
质数为 {2, 3, 5} 共 3 种，总数为 6 种。
P = 3/6
2
约分。
= 1/2
▸ 1/2
概率 = （事件情形数） ÷ （总情形数）。

考点整理

概率的核心公式
P(A) = n(A)n(S), P(Ac) = 1 - P(A)
不重不漏地数出结果数，是所有概率问题的出发点。
初二 校内考试 题型
同时掷 1 枚硬币与 1 个骰子时，所有可能的情形数是？
①6
②8
③12
④18
⑤36
▸ ③ 12
1
用乘法原理。硬币 2 种，骰子 6 种。
2 × 6
2
计算。
= 12 (种)
🎯 考试要点
①只有两个事件不能同时发生时，加法原理才能直接相加；有重叠时按 n(A) + n(B) − n(A∩B) 计数。
②出现“先后”“同时”时用乘法原理。
③掷硬币 n 次有 2ⁿ 种结果，掷骰子 n 次有 6ⁿ 种结果。
④出现“至少”时，先数对立事件，再用 1 去减。
⑤概率总在 0 和 1 之间，算出大于 1 的值说明数错了。
← 上一页
平行线与线段比
下一页 →
平方根与实数

最后更新

如果有帮助，请支持我们