计数与概率

Counting & Probability

概率用 0 到 1 之间的数表示一件事发生的可能性。掷骰子会出现 1 到 6 共六种情况，把有利的情况数除以总数就得到概率。数多个事件时，“或”就相加，“且”就相乘，多次抛硬币画出树状图，就能看到情况数为什么每次翻一倍。在这个页面，你可以拖动骰子滑块看概率变大，用树状图看情况数不断增多。

直觉 — 可能发生的所有情况

不超过 (≤n 的概率)3

👀 什么是概率？

①投骰子得到1~6（共6种）

②不超过3: 1,2,3 → 3种

③概率 = 有利次数 ÷ 总次数 = 3/6

计数 — 加法原理与乘法原理

抛硬币次数2

加法原理

不能同时发生的两事件 → 把次数相加

A 或 B → n(A) + n(B)

乘法原理

相继发生的两事件 → 把次数相乘

A 且 B → n(A) × n(B)

概率的基本性质

概率的定义

P(A) = 事件A发生的情况数所有情况数

0 ≤ P(A) ≤ 1

💡 概率的性质

①必然事件: P = 1

②不可能事件: P = 0

③所有概率介于0和1之间

④P(A) + P(非A) = 1

概率的计算

逆事件的概率

P(A^c) = 1 - P(A)

'非~'的概率 = 1 - '是~'的概率

📝 逆事件的应用

①"至少一枚正面"的概率

②直接数难 → 用逆事件

③P(至少一正) = 1 - P(全反) = 1 - 1/4 = 3/4

动手解题

例题 1

掷一枚骰子时，求出现偶数或 3 的倍数点数的情形数。

偶数为 {2, 4, 6} 共 3 种，3 的倍数为 {3, 6} 共 2 种，重叠(6)为 1 种。

3 + 2 − 1

把重叠减去一次再相加。

= 4 (种)

▸ 4 种

"或"的情形数用加法原理求，并减去重叠一次。

例题 2

掷一枚骰子时，求出现质数点数的概率。

质数为 {2, 3, 5} 共 3 种，总数为 6 种。

P = 3/6

约分。

= 1/2

▸ 1/2

概率 = (事件情形数) ÷ (总情形数)。

考试要点整理

概率核心公式

P(A) = n(A)n(S), P(A^c) = 1 - P(A)

正确数清次数是概率的起点

初二校内考试题型

同时掷 1 枚硬币与 1 个骰子时，所有可能的情形数是?

①6

②8

③12

④18

⑤36

▸ ③ 12

用乘法原理。硬币 2 种，骰子 6 种。

2 × 6

计算。

= 12 (种)

🎯 考试要点

①加法原理 vs 乘法原理: "或" → 加，"且" → 乘

②画树状图保证不漏数

③硬币n次: 2^n，骰子n次: 6^n

④"至少一个" → 用逆事件

⑤概率始终在0~1之间，超过1必错

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平行线与线段比

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