初中数学有理数与循环小数

1除以3会得到0.333...，3无限重复；1除以7则是六位数字整段循环。有的分数化成干净的有限小数，有的却循环不止，分界点在于把分母分解质因数后是否只剩下2和5。反过来，把循环小数乘以10的幂再相减，循环的部分就会消失，变成简洁的分数。改分母和循环节，小数为什么终止或重复就清楚了。

直觉 — 除一下会得到什么？

把除法写成小数时如果只截下前面几位，同一个分数就容易被看成两个不同的数。化成最简分数后，先问分母的质因数是不是只有 2 和 5 的幂，才能分开会在某一位结束的小数和同一段反复出现的小数。这两种都能回到分数，所以仍是有理数的另一种写法；只有既不循环又无限延续的展开才落在外面。与其抄几位数字，不如先问分母由哪些质因数组成，这样记号才站得住。

在 0 和 1 之间的数轴上，1/n 被标成一个点，下面写着 1 ÷ n 的多位小数展开。把分母 n 从 2 改到 12，点的位置和小数点后的数字串会一起变；若同一段反复出现，就会标出循环节和长度，否则留下不循环的说明。另一幅图从上到下写着一位循环小数 x = 0.aaa…、它的 10 倍、相减得到的 9x，以及 x = a/9；能约分时，旁边会出现最简分数和表示这个比例的扇形。把循环节数字从 1 改到 8，式子里的数字和扇形所占的比例会一起变。

分母 n3

👀 除法的秘密

①1 ÷ 3 = 0.333... → 3无限重复

②1 ÷ 7 = 0.142857142857... → 6位循环

③改变分母，看看哪些是“有限”哪些是“循环”

有限小数 vs 循环小数

🔑 何时是有限小数？

①分母的素因数只有2与5 → 有限小数

②有其他素因数 → 循环小数

③例: 1/8 = 1/2³ → 有限，1/6 = 1/(2×3) → 循环

有限小数判别

分母素因数 = 2^a × 5^b 时仅为有限

化为最简分数后，分母不能含2、5以外的素因数

把循环小数化为分数

小数点后面拖得很长，并不够当作都能写回分数的理由。既不循环又无限延续的展开填不满有理数的条件；看起来像在重复，把分母拆成质因数后却只剩 2 和 5、会在某一位结束的情况也有。循环段上不画上划线、只写前几位，同一个数就容易被读成另一种小数。先核对分母的质因数，再相信小数点后的样子，才不会把有限小数和循环小数混在一起。

循环节数字1

一位循环 → 分数

0.a̅ = a9

一位循环节 → 分母为9

两位循环 → 分数

0.a̅b̅ = ab99

两位循环节 → 分母为99

混合循环小数的化分数

混合循环小数公式

0.ab̅ = ab - a90

把不循环部分与循环部分分开计算

📝 原理

①若x = 0.1666...

②10x = 1.666...、100x = 16.666...

③100x - 10x = 15 → 90x = 15 → x = 15/90 = 1/6

动手解题

例题 1

判断分数 3/40 是有限小数还是循环小数。

把最简分数的分母分解质因数。

40 = 2³ × 5

若分母的质因数只有 2 和 5，则为有限小数。

只有质因数 2, 5 ⇒ 有限小数 (3/40 = 0.075)

▸ 有限小数 (0.075)

最简分数的分母只含 2 和 5 时为有限小数。

例题 2

将循环小数 0.444… 写成最简分数。

设 x = 0.444…，构造其 10 倍。

x = 0.444…, 10x = 4.444…

两式相减得 9x = 4。

10x − x = 9x = 4 ⇒ x = 4/9

▸ 4/9

循环小数乘以 10ⁿ 后相减可消去循环节。

考试要点整理

循环小数 → 分数核心

循环节n位 → 分母放n个9

不循环位数对应分母加0

初二校内考试题型

使分数 a/30 为有限小数的最小自然数 a 是?

①1

②2

③3

④5

⑤6

▸ ③ 3

因 30 = 2 × 3 × 5，要成为有限小数须约去质因数 3。

30 = 2 × 3 × 5

a 须为 3 的倍数，故最小为 3。

a = 3 (3/30 = 1/10 = 0.1)

🎯 考试要点

①有限小数判别: 最简分数的分母素因数仅含2、5

②记号: 点和上划线同义。本页公式用上划线

③化分数: 用10^n减法

④所有有理数皆可写成有限或循环

⑤无限不循环 = 无理数（初三）

初中数学 有理数与循环小数