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我的单词本
初中二年级 (13-14岁)

有理数与循环小数

Rational Numbers & Repeating Decimals

1除以3会得到0.333...,3无限重复;1除以7则是六位数字整段循环。 有的分数化成干净的有限小数,有的却循环不止,分界点在于把分母分解质因数后是否只剩下2和5。 反过来,把循环小数乘以10的幂再相减,循环的部分就会消失,变成简洁的分数。 在这一页,你可以自己拖动分母和循环节,看看小数为什么会终止或重复。

直觉 — 除一下会得到什么?
3
👀 除法的秘密
①1 ÷ 3 = 0.333... → 3无限重复
②1 ÷ 7 = 0.142857142857... → 6位循环
③改变分母,看看哪些是"有限"哪些是"循环"
有限小数 vs 循环小数
🔑 何时是有限小数?
①分母的素因数只有2与5 → 有限小数
②有其他素因数 → 循环小数
③例: 1/8 = 1/2³ → 有限,1/6 = 1/(2×3) → 循环
有限小数判别
分母素因数 = 2a × 5b 时仅为有限
化为最简分数后,分母不能含2、5以外的素因数
把循环小数化为分数
1
一位循环 → 分数
0.ā = a9
一位循环节 → 分母为9
两位循环 → 分数
0.ab̄ = ab99
两位循环节 → 分母为99
混合循环小数的化分数
混合循环小数公式
0.ab̄ = ab - a90
把不循环部分与循环部分分开计算
📝 原理
①若x = 0.1666...
②10x = 1.666...、100x = 16.666...
③100x - 10x = 15 → 90x = 15 → x = 15/90 = 1/6
动手解题
例题 1
判断分数 3/40 是有限小数还是循环小数。
1
把最简分数的分母分解质因数。
40 = 2³ × 5
2
若分母的质因数只有 2 和 5,则为有限小数。
只有质因数 2, 5 ⇒ 有限小数 (3/40 = 0.075)
有限小数 (0.075)
最简分数的分母只含 2 和 5 时为有限小数。
例题 2
将循环小数 0.444… 写成最简分数。
1
设 x = 0.444…,构造其 10 倍。
x = 0.444…, 10x = 4.444…
2
两式相减得 9x = 4。
10x − x = 9x = 4 ⇒ x = 4/9
4/9
循环小数乘以 10ⁿ 后相减可消去循环节。
考试要点整理
循环小数 → 分数核心
循环节n位 → 分母放n个9
不循环位数对应分母加0
初二 校内考试 题型
使分数 a/30 为有限小数的最小自然数 a 是?
1
2
3
5
6
③ 3
1
因 30 = 2 × 3 × 5,要成为有限小数须约去质因数 3。
30 = 2 × 3 × 5
2
a 须为 3 的倍数,故最小为 3。
a = 3 (3/30 = 1/10 = 0.1)
🎯 考试要点
①有限小数判别: 最简分数的分母素因数仅含2、5
②记号: 循环节首末数字上加点
③化分数: 用10^n减法
④所有有理数皆可写成有限或循环
⑤无限不循环 = 无理数(初三)
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指数法则
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