初中二年级 (13-14岁)

初中数学有理数与循环小数

1 除以 4 正好在 0.25 结束，可 1 除以 3 得到 0.333…，3 无穷无尽，1 除以 7 则是 142857 这六位整体反复出现。有的分数化成有限小数，有的化成循环小数，分界线在于：把最简分数的分母分解质因数后，是否只剩下 2 和 5。反过来，把循环小数乘以 10 的幂，再减去原来的数，无穷的尾巴就整个消掉，变回一个分数。所以有限小数和循环小数，都是分数（也就是有理数）写成小数的样子。

除出来会是怎样的小数

用计算器做除法，数字会在屏幕写满处截断，所以光看屏幕分不清这个小数是真的结束了还是在一直循环。这一单元把判断的方法从数位数改成看分母。每求一位小数都要乘 10，而 10 = 2 × 5，所以分母里只要还有 2 和 5 以外的质因数，余数就永远不会变成 0。明白了这个道理，不用做除法也能说出 1/40 是有限小数、1/12 是循环小数。

第一幅图的数轴把 0 到 1 等分成 n 份并标出 1/n 的位置，下面写着用竖式算出的 1 ÷ n 的小数。如果是循环小数，就在循环节上方画一条线并注明循环节的位数；如果是有限小数，就注明到小数点后第几位结束。最下面两行是分母 n 的质因数分解和判断，把 n 从 6 调到 8，就能看到质因数 3 消失、循环小数变成有限小数的那一刻。第二幅图把用 10x 减去 x 的竖式和按所得分数涂色的圆并排放在一起。

分母 n3

👀 余数告诉我们的事

①用竖式计算 1 ÷ 3，每次余数都是 1，所以商里的 3 没有尽头。

②计算 1 ÷ 7，余数依次是 1、3、2、6、4、5，然后又回到 1，所以 142857 这六位反复出现。

③余数只能是比除数小的数，只要不变成 0，迟早会出现相同的余数，从那以后商就开始循环。

有限小数与循环小数

🔑 化成有限小数的条件

①最简分数的分母分解质因数后只有 2 和 5，就能化成有限小数。

②只要含有 2 和 5 以外的质因数，就化成循环小数。

③1/8 = 1/2³ 是有限小数（0.125），1/6 = 1/(2 × 3) 因为有质因数 3，是循环小数（0.1666…）。

有限小数的判断方法

只有最简分数的分母是 2^a × 5^b 的形式时，才是有限小数

一定先约分，再把分母分解质因数。

把循环小数化成分数

小数点后面很长，很容易就认为都是循环小数，但循环小数只指同一段数字无限重复的小数。像圆周率那样不重复、无限延伸的小数是无理数，不能写成分数，到九年级才学。另外，判断能否化成有限小数，一定要先化成最简分数。3/30 的分母里有 3，看起来像循环小数，可约分后是 1/10 = 0.1。

循环的数字 n1

一位循环节化成分数

0.a̅ = a9

循环节是一位时，分母是 9。

两位循环节化成分数

0.a̅b̅ = ab99

循环节是两位时要算 100x − x，所以分母是 99。

前面有不循环的数位时

混循环小数

0.ab̅ = ab - a90

分别把小数点移到循环开始处和一个循环节之后，得到两个式子，再相减。

📝 把 0.1666… 化成分数

①设 x = 0.1666…。

②10x = 1.666…，100x = 16.666…，这两个式子小数点后面的部分完全相同。

③100x − 10x = 15，所以 90x = 15，x = 15/90 = 1/6。

例题演练

例题 1

判断分数 3/40 是有限小数还是循环小数。

把最简分数的分母分解质因数。

40 = 2³ × 5

若分母的质因数只有 2 和 5，则为有限小数。

只有质因数 2, 5 ⇒ 有限小数 (3/40 = 0.075)

▸ 有限小数 (0.075)

最简分数的分母只含 2 和 5 时为有限小数。

例题 2

将循环小数 0.444… 写成最简分数。

设 x = 0.444…，构造其 10 倍。

x = 0.444…, 10x = 4.444…

两式相减得 9x = 4。

10x − x = 9x = 4 ⇒ x = 4/9

▸ 4/9

循环小数乘以 10ⁿ 后相减可消去循环节。

考点整理

循环小数化分数的规律

循环节有 n 位 → 分母写 n 个 9

小数点后有 k 位不循环，就在 9 的后面添 k 个 0。

初二校内考试题型

使分数 a/30 为有限小数的最小自然数 a 是？

①1

②2

③3

④5

⑤6

▸ ③ 3

因 30 = 2 × 3 × 5，要成为有限小数须约去质因数 3。

30 = 2 × 3 × 5

a 须为 3 的倍数，故最小为 3。

a = 3 (3/30 = 1/10 = 0.1)

🎯 考点

①判断有限小数：先化成最简分数，再看分母的质因数是否只有 2 和 5。

②循环小数的记法：在循环节首尾数字上方加点，或在整个循环节上方画线；本页的图用画线。

③循环小数化分数：用乘以 10ⁿ 后的式子减去原式。

④所有有理数都能写成有限小数或循环小数，反过来也成立。

⑤不循环的无限小数是无理数（九年级）。

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资料的整理与解读

指数法则

最后更新 2026-10-17

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