指数法则

Laws of Exponents

指数法则是把幂的乘法、除法以及幂的乘方整理成的简单规则。 2的三次方乘2的二次方等于把2连乘五次，所以同底的幂相乘时指数相加。同样地，相除时指数相减，幂的乘方时指数相乘。在这一页里，你可以拖动底和指数，亲眼看看每条规则为什么成立。

直觉引入 — 乘法的重复

底 a2

指数 n3

👀 什么是幂？

①2³ = 2 × 2 × 2 = 8 → "把2乘3次"

②底变大? 指数变大? 结果爆炸性增长

③这种"重复乘法"规则就是指数法则

法则1 — 同底的乘积

指数法则1: 乘法

a^m × aⁿ = a^m+n

同底相乘 → 指数相加

法则2、3 — 除法与幂的幂

指数法则2: 除法

a^m ÷ aⁿ = a^m-n (m > n, a ≠ 0)

同底相除 → 指数相减

指数法则3: 幂的幂

(a^m)ⁿ = a^mn

幂再被幂 → 指数相乘

💡 为什么指数相乘？

①(a²)³ = a² × a² × a² → 每组2次共3组 = 6次

②(a^m)^n: 把"乘m次"做n次 = m×n次

法则4、5 — 积与商的幂

积的幂

(ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ

积的幂 → 对每个因子应用指数

商的幂

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

商的幂 → 对分子分母分别应用指数

动手解题

例题 1

化简 a⁴ × a³。

同底数幂相乘，指数相加。

a⁴ × a³ = a⁴⁺³

计算指数。

= a⁷

▸ a⁷

同底数：相乘指数相加，相除指数相减。

例题 2

化简 (2a² b)³。

积的乘方对每个因式分别乘方，系数也乘方。

= 2³ × (a²)³ × b³

用幂的运算法则整理。

= 8a⁶ b³

▸ 8a⁶ b³

注意 (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ 且 (a^m)ⁿ = a^mn。

考试要点整理

5条指数法则总结

a^m·aⁿ=a^m+n, a^m÷aⁿ=a^m-n, (a^m)ⁿ=a^mn

(ab)ⁿ=aⁿ·bⁿ, (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ

初二校内考试题型

若 aⁿ ÷ a² = a⁵ (a ≠ 0)，自然数 n 的值是?

①5

②6

③7

④8

⑤10

▸ ③ 7

同底数幂相除，指数相减。

aⁿ ÷ a² = aⁿ⁻² = a⁵

比较指数。

n − 2 = 5 ⇒ n = 7

🎯 考试要点

①确认底是否相同 → 相同则操作指数

②乘→指数加，除→指数减，幂的幂→指数乘

③a⁰ = 1 (a ≠ 0)

④注意符号: (-2)² = 4 而 -2² = -4

⑤是否有括号决定结果