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初中二年级 (13-14岁)

初中数学 指数法则

幂的运算法则，就是把幂与幂相乘、相除、再乘方时的规律简单地总结出来。 2³ × 2² 表示先乘3个2、再乘2个2，一共乘了5个2，也就是2⁵；所以同底数幂相乘，指数相加。 按同样的思路，同底数幂相除，指数相减；幂的乘方，指数相乘。 这一页里，你可以改变底数和指数，看幂增长得有多快，再数一数方块，弄清指数为什么相加。

把同一个数反复相乘

2
3
👀 乘方
①2³ = 2 × 2 × 2 = 8，表示3个2相乘，其中2叫作底数，3叫作指数
②指数每增加1，结果就再乘一次底数，所以图中的条形越往后越高得越快
③像这样把同一个数反复相乘时的规律，整理出来就是幂的运算法则

法则一　同底数幂相乘

2
3
法则一　乘法
am × an = am+n
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。先乘m个a，再乘n个a，一共是m + n个a

法则二、三　除法与幂的乘方

法则二　除法
am ÷ an = am-n (m > n, a ≠ 0)
同底数幂相除，底数不变，指数相减。m = n 时结果为1；m < n 时得到1除以a的(n − m)次幂
法则三　幂的乘方
(am)n = amn
幂的乘方，底数不变，指数相乘
💡 为什么指数相乘
①(a²)³ = a² × a² × a²，是3组、每组2个a，所以a一共乘了 2 × 3 = 6 次
②一般地，(aᵐ)ⁿ 是把“乘m个a”重复n次，所以等于aᵐⁿ
③它很容易和法则一混淆：同底数幂相乘是指数相加，幂的乘方是指数相乘

法则四、五　积和商的乘方

积的乘方
(ab)n = an × bn
积的乘方等于把每个因式分别乘方，系数也不能漏掉
商的乘方
(ab)n = anbn
商的乘方等于分子、分母分别乘方 (b ≠ 0)

用例题检验

例题 1
化简 a4 × a3。
1
同底数幂相乘，指数相加。
a4 × a3 = a4+3
2
计算指数。
= a7
▸ a7
在方块图中取 m = 4、n = 3，a方块是4个加3个，一共7个。
例题 2
化简 (2a2 b)3。
1
积的乘方要把每个因式分别乘方，系数2也要立方。
= 23 × (a2)3 × b3
2
幂的乘方，指数相乘。
= 8a6 b3
▸ 8a6 b3
最常见的错误是忘了把系数立方，写成 2a6 b3。

考试要点

幂的运算法则小结
am·an=am+n, am÷an=am-n, (am)n=amn
am × an = am+n，am ÷ an = am−n，(am)n = amn，(ab)n = an bn
八年级校内测验题型
若 an ÷ a2 = a5，则自然数n的值是多少？(a ≠ 0)
①5
②6
③7
④8
⑤10
▸ ③ 7
1
同底数幂相除，指数相减。
an ÷ a2 = an−2 = a5
2
比较指数。
n − 2 = 5 ⇒ n = 7
🎯 考试要点
①先看底数是否相同，底数相同才能对指数进行运算
②乘法是指数相加，除法是指数相减，幂的乘方是指数相乘
③除法中指数相同时结果为1，除数的指数更大时结果是分数
④(−2)² = 4，但 −2² = −4，有没有括号，结果完全不同
⑤积的乘方中，系数也要乘方：(2a)³ = 8a³
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