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初中二年级 (13-14岁)

初中数学 单项式与多项式的计算

含有 x、y 等字母的式子也遵循和数的运算相同的规则，所以只要掌握几条规则，就能把冗长的式子化简得很短。 像 3x² 这样只由数与字母的一个乘积构成的式子叫单项式，几个单项式的和叫多项式。 字母部分完全相同的项叫同类项，可以像同样形状的积木一样归到一起，只把系数相加；多项式乘单项式时，就像把长方形的面积切成几块再相加，用分配律逐项相乘。 下面的积木图和面积图，把这两条规则为什么成立直观地画了出来。

数与字母的乘积

👀 单项式与多项式
①只由数与字母的乘积组成的式子叫单项式，3x²、−5xy、7 都是单项式。
②在 3x² 中，3 是系数，x² 是字母部分，所有字母的指数和 2 是它的次数。
③像 3x² + 2x − 1 这样几个单项式的和叫多项式，其中每个单项式叫做项。

合并同类项

3
2
同类项相加
axn + bxn = (a + b)xn
只有所含字母相同、相同字母的指数也相同的项才能把系数相加。3x + 2x = 5x，但 3x + 2 不能再合并。

多项式 × 单项式与面积

3
2
分配律
a(b + c) = ab + ac
用括号外的项逐一去乘括号内的每一项。图中大长方形的面积等于各个正方形面积与各个长条面积之和。

单项式的乘法与除法

单项式的乘法
（系数相乘）×（同底数幂按指数法则）
在 3x² × 2x³ 中，系数 3 × 2 = 6，指数 2 + 3 = 5，所以结果是 6x⁵。
单项式的除法
6x52x2 = 3x3
系数相除，同底数幂的指数相减。也可以把除法改成乘以倒数来计算。

例题演练

例题 1
计算 3x2 × 4x3。
1
系数与系数、字母与字母分别结合后相乘。
= (3 × 4) × (x2 × x3)
2
把相同字母 x 的指数相加。
= 12x5
▸ 12x5
单项式相乘，把系数归在一起、相同字母归在一起计算。
例题 2
展开 2x(3x − 5)。
1
用分配律，把 2x 分别乘括号内的两项。
= 2x × 3x − 2x × 5
2
分别整理每个乘积。
= 6x2 − 10x
▸ 6x2 − 10x
（单项式）×（多项式）用分配律展开，相当于在面积图中把长方形切成两块。

考点整理

支撑整式运算的三条规则
合并同类项 + 分配律 + 指数法则
绝大多数整式运算，就是按顺序运用这三条规则。
初二 校内考试 题型
计算 12a5 b3 ÷ 3a2 b?
①4a3 b2
②4a3 b3
③9a3 b2
④4a7 b4
⑤36a7 b4
▸ ① 4a3 b2
1
系数相除，同底数幂的指数相减。
= (12 ÷ 3) × a5−2 × b3−1
2
分别计算后整理。
= 4a3 b2
🎯 考点
①同类项要求所含字母和相同字母的指数都完全相同，x² 与 x 不是同类项。
②用分配律时，括号前的符号也要一起乘进去。
③单项式相乘，系数相乘，同底数幂的指数相加。
④单项式相除，系数相除，同底数幂的指数相减。
⑤符号最容易出错：−2(3x − 4) = −6x + 8，后一项的符号也要改变。
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