初一数学›平面·立体图形与统计

立体的表面积与体积

Surface Area & Volume

直观导入 — 从堆硬币开始
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🪙 堆硬币吧
①一枚硬币（圆）的面积 = πr²
②堆 h 枚 → 圆柱 → V = πr²h
③圆锥相当于不断缩小的硬币堆 → 柱的 1/3
④球嵌入圆柱（高=直径），占柱的 2/3
柱体的体积与表面积
柱体体积
V = Sh = 底面积 × 高
不论底面形状，底面积 × 高
圆柱体积
V = πr²h
底为半径 r 的圆
圆柱表面积
S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
上下两圆＋侧面(展开为矩形：宽 2πr，高 h)
🔍 展开侧面看
①把圆柱侧面剪开展平 → 矩形
②宽 = 圆周 = 2πr
③高 = h
④侧面积 = 2πrh
锥体体积 — 为何是1/3？
锥体体积
V = 13Sh
同底同高的柱的 1/3
圆锥体积公式
V = 13πr²h
为 πr²h 的 1/3
圆锥侧面积
S = πrl
l 是母线长，展开为扇形
💡 通过实验确认
①准备相同底面与高的圆柱和圆锥容器
②用圆锥盛水倒入圆柱，正好倒3次填满
③不需积分，实验即可确认 1/3
球的体积与表面积
球的体积
V = 43πr³
半径 r 的球；为高 2r 的圆柱的 2/3
球的表面积
S = 4πr²
与4个相同半径的圆面积之和相等
🏀 球 = 圆柱的 2/3
①将球内嵌于高=直径的圆柱
②圆柱 V = πr² × 2r = 2πr³
③球 V = (4/3)πr³ = 圆柱的 2/3
④阿基米德发现的优雅关系
考试要点整理
立体体积总结
Sh, 13Sh, 43πr³
柱：锥：球 = 3：1：2（相同 r，h = 2r 时）
🎯 考试要点
①柱体 V = Sh；锥体 V = Sh/3 — 底面无论何形
②圆柱表面积 2πr(r+h) 常考
③圆锥侧面积 πrl (l 为母线)
④球表面积 4πr² = 4个圆面积，记得说明原因
⑤半球表面 = 2πr² + πr² = 3πr²