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初中一年级 (12-13岁)

初中数学 立体的表面积与体积

想象一下把硬币一枚枚叠起来，就能体会立体图形的体积。 把面积为πr²的硬币叠到高h，就得到圆柱，体积是πr²h；底面和高都相同的圆锥，体积是它的三分之一。 恰好放进圆柱里的球，体积是这个圆柱的三分之二，所以当高等于直径时，圆柱、圆锥、球的体积比是 3 : 1 : 2。 这一页里，你可以改变半径和高，在圆柱、圆锥、球之间切换，用保留π的形式比较体积，还会把表面展开，看看面积公式从哪里来。

用硬币叠成的立体

3
6
🪙 把硬币叠起来
①半径为r的一枚硬币，面积是πr²
②把这样的硬币叠到高h，就成了圆柱，所以体积是πr² × h
③圆锥像是越往上越小的硬币叠起来的，所以比等底等高的圆柱小，正好是它的三分之一
④图中半径和高用同一个比例画出。r = 3、h = 6 时，圆柱的高和直径相等

柱体的体积和表面积

柱体的体积
V = Sh = 底面积 × 高
不管底面是什么形状，都是底面积乘高
圆柱的体积
V = πr²h
底面是半径为r的圆的柱体
圆柱的表面积
S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
上下两个圆的面积，加上展开后是长2πr、宽h的长方形的侧面面积
🔍 把侧面展开
①把圆柱的侧面竖着剪开、展平，得到一个长方形
②长方形的长是底面圆的周长2πr
③宽是圆柱的高h
④所以侧面积是2πrh，再加上两个底面积2πr²，就是表面积

锥体的体积为什么是三分之一

锥体的体积
V = 13Sh
是等底等高柱体体积的1/3
圆锥的体积
V = 13πr²h
是圆柱体积πr²h的1/3
圆锥的侧面积
S = πrl
l是母线长。侧面展开后是半径为l、弧长为2πr的扇形，所以面积是 (1/2) × l × 2πr = πrl
💡 用实验验证
①准备等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器
②把圆锥形容器装满水倒进圆柱形容器，要倒三次才能装满
③不用计算，用眼睛就能确认圆锥的体积是圆柱的三分之一
④在图中选择圆锥，体积会显示为圆柱体积的1/3

球的体积和表面积

球的体积
V = 43πr³
半径为r的球，是高为2r的圆柱体积的2/3
球的表面积
S = 4πr²
等于四个同半径的圆的面积
🏀 球是圆柱的三分之二
①把球放进恰好容纳它的圆柱，也就是高等于直径2r的圆柱
②这个圆柱的体积是 πr² × 2r = 2πr³
③球的体积是(4/3)πr³，是圆柱的2/3
④这时等底等高的圆锥是 (1/3) × 2πr³ = (2/3)πr³，所以 圆柱 : 圆锥 : 球 = 3 : 1 : 2。这是阿基米德发现的关系

用例题检验

例题 1
圆柱的底面半径是3，高是5，求它的体积。（结果保留π）
1
圆柱的体积 = 底面积 × 高 = πr² × h。
体积 = π × 3² × 5
2
计算。
= 9π × 5 = 45π
▸ 45π
在图中取 r = 3、h = 5 并选择圆柱，体积显示为 45π ≈ 141.4。
例题 2
四棱锥的底面是边长为6的正方形，高是10，求它的体积。
1
锥体的体积 = (1/3) × 底面积 × 高，底面积是 6² = 36。
体积 = (1/3) × 36 × 10
2
计算。
= (1/3) × 360 = 120
▸ 120
等底等高的四棱柱体积是360，四棱锥是它的1/3，即120。

考试要点

立体体积小结
Sh, 13Sh, 43πr³
圆柱 : 圆锥 : 球 = 3 : 1 : 2（r相同、高为2r时）
七年级校内测验题型
半径为3的球的体积是多少？（结果保留π）
①12π
②27π
③36π
④72π
⑤108π
▸ ③ 36π
1
球的体积是(4/3)πr³。
体积 = (4/3) × π × 3³
2
计算。
= (4/3) × 27π = 36π
🎯 考试要点
①柱体 V = Sh，锥体 V = (1/3)Sh，不论底面是什么形状，这个关系都成立
②圆柱的表面积2πr(r + h)经常考
③圆锥的侧面积是πrl，l是母线长
④球的表面积4πr²是同半径的圆面积的4倍
⑤半球的表面积是曲面2πr²加底面πr²，共3πr²
⑥棱柱、棱锥的表面积，是展开图中各个面的面积之和
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多边形与圆
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