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初中一年级 (12-13岁)

立体的表面积与体积

Surface Area & Volume

立体的体积与表面积,只要堆一堆硬币就能抓住直觉。 一枚硬币(圆)的面积是πr²,把它堆到高h就成了圆柱,体积为πr²h;圆锥是它的三分之一,球是三分之二(当高等于直径时),构成一组漂亮的比。 表面积也一样,把侧面展开成矩形,就能看清公式为何如此。 在本页你可以用滑块改变半径和高,并在圆柱、圆锥、球之间切换,亲眼看看三者体积如何按3 : 1 : 2相比。

直观导入 — 从堆硬币开始
3
6
🪙 堆硬币吧
①一枚硬币(圆)的面积 = πr²
②堆 h 枚 → 圆柱 → V = πr²h
③圆锥相当于不断缩小的硬币堆 → 柱的 1/3
④球嵌入圆柱(高=直径),占柱的 2/3
柱体的体积与表面积
柱体体积
V = Sh = 底面积 × 高
不论底面形状,底面积 × 高
圆柱体积
V = πr²h
底为半径 r 的圆
圆柱表面积
S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
上下两圆+侧面(展开为矩形:宽 2πr,高 h)
🔍 展开侧面看
①把圆柱侧面剪开展平 → 矩形
②宽 = 圆周 = 2πr
③高 = h
④侧面积 = 2πrh
锥体体积 — 为何是1/3?
锥体体积
V = 13Sh
同底同高的柱的 1/3
圆锥体积公式
V = 13πr²h
为 πr²h 的 1/3
圆锥侧面积
S = πrl
l 是母线长,展开为扇形
💡 通过实验确认
①准备相同底面与高的圆柱和圆锥容器
②用圆锥盛水倒入圆柱,正好倒3次填满
③不需积分,实验即可确认 1/3
球的体积与表面积
球的体积
V = 43πr³
半径 r 的球;为高 2r 的圆柱的 2/3
球的表面积
S = 4πr²
与4个相同半径的圆面积之和相等
🏀 球 = 圆柱的 2/3
①将球内嵌于高=直径的圆柱
②圆柱 V = πr² × 2r = 2πr³
③球 V = (4/3)πr³ = 圆柱的 2/3
④阿基米德发现的优雅关系
动手解题
例题 1
求底面为半径 3 的圆、高为 5 的圆柱的体积。(π 保留)
1
柱体体积 = (底面积) × (高) = πr² × h。
体积 = π × 3² × 5
2
计算。
= 9π × 5 = 45π
45π
柱体体积是底面积乘以高。
例题 2
求底面为边长 6 的正方形、高为 10 的四棱锥的体积。
1
锥体体积 = (1/3) × (底面积) × (高)。底面积 = 6² = 36。
体积 = (1/3) × 36 × 10
2
计算。
= (1/3) × 360 = 120
120
锥体体积是同底等高柱体的 1/3。
考试要点整理
立体体积总结
Sh, 13Sh, 43πr³
柱:锥:球 = 3:1:2(相同 r,h = 2r 时)
初一 校内考试 题型
半径为 3 的球的体积是?(π 保留)
12π
27π
36π
72π
108π
③ 36π
1
球的体积 = (4/3)πr³。
体积 = (4/3) × π × 3³
2
计算。
= (4/3) × 27π = 36π
🎯 考试要点
①柱体 V = Sh;锥体 V = Sh/3 — 底面无论何形
②圆柱表面积 2πr(r+h) 常考
③圆锥侧面积 πrl (l 为母线)
④球表面积 4πr² = 4个圆面积,记得说明原因
⑤半球表面 = 2πr² + πr² = 3πr²
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