初一数学›平面·立体图形与统计

多边形与圆

Polygon & Circle

直观导入 — 把比萨切成n块？
5
🍕 用比萨理解
①将比萨n等分时每块的中心角为 360/n°
②多边形类似 — 从一个顶点引对角线得三角形
③单个三角形内角和 180°
④三角形共 (n-2) 个，故内角和为 180×(n-2)°
内角与外角关系
内角和
内角和 = 180° × (n − 2)
n边形可分为 (n−2) 个三角形
正多边形的一内角
180° × (n-2)n
正多边形所有内角相等，把和除以n
外角和
外角和 = 360°（任意多边形）
一内角+一外角=180°，外角和恒为360°
💡 为何外角和恒为360°
①想象沿多边形走一圈
②每顶点的转角即外角
③走一圈共转360°，外角和必为360°
圆与扇形
120°
5
🔍 扇形是圆的一部分
①整圆=中心角360°的扇形
②中心角x°的扇形为圆的 x/360
③弧长与面积都按 x/360 比例
公式推导
圆周长
l = 2πr
直径×π=圆周。若用直径d：l = πd
圆面积
S = πr²
半径平方乘以 π
扇形弧长
l = 2πr × x360
圆周长的 x/360
扇形面积
S = πr² × x360 = 12rl
圆面积的 x/360；也可用 (1/2)×r×弧长 求得
💡 为何 S = (1/2)rl 成立
①把扇形切成许多薄三角形
②每三角形底=弧的小段，高=r
③三角形面积=(1/2)×底×高
④累加得 S = (1/2)×r×l
考试要点整理
多边形·圆·扇形 总结
180(n-2), πr², 12rl
三公式为核心
🎯 考试要点
①将n代入 180(n-2) 即得答案
②外角和 360° 与 n 无关
③记住正六边形120°、正八边形135°
④(1/2)rl 公式常出现于解答题
⑤弧长与面积与中心角成正比