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初中一年级 (12-13岁)

初中数学 多边形与圆

多边形是由线段围成的图形，每个顶点处都有里面的内角和外面的外角。 从一个顶点引对角线，n边形就被分成(n − 2)个三角形，所以内角和是180° × (n − 2)。 外角和不管有几条边，总是360°；扇形是圆的一部分，它的弧长和面积由圆心角占整个圆的几分之几来决定。 这一页里，你可以改变边数，数一数分出几个三角形，再改变圆心角和半径，检验扇形的弧长和面积。

把多边形分成三角形

5
🍕 分成三角形
①从n边形的一个顶点出发，能引(n − 3)条对角线，因为不能连到自己和相邻的两个顶点
②这些对角线把多边形分成(n − 2)个三角形。数一数图中颜色不同的部分，正好是n − 2个
③每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和是180° × (n − 2)
④n边形一共有n(n − 3)/2条对角线

内角和外角

内角和
180° × (n − 2)
把n边形分成(n − 2)个三角形得到
正多边形的每个内角
180° × (n-2)n
正多边形的内角都相等，所以用内角和除以n
外角和
外角和 = 360°
任何多边形，不论边数多少，外角和都是360°
💡 外角和为什么总是360°
①每个顶点处内角与外角的和是180°。n边形有n个顶点，所以（内角和）+（外角和）= 180° × n
②减去内角和180° × (n − 2)，外角和就是180° × 2 = 360°
③也可以想象沿着边走一圈：每到一个顶点就转过一个外角，最后回到原来的方向，一共转了一整圈，也就是360°
④正n边形的每个外角是360° ÷ n

圆和扇形

120°
5
🔍 扇形是圆的几分之几
①圆心角为x°的扇形，占整个圆（360°）的x/360
②所以弧长是圆周长2πr的x/360，面积是圆面积πr²的x/360
③在同一个圆中，弧长和面积都与圆心角成正比。在图中把圆心角变成两倍，两者也都变成两倍
④图中同时写出了保留π的形式和近似值。答案一般写成保留π的形式

公式整理

圆的周长
l = 2πr
等于直径 × π。用直径d表示就是 l = πd
圆的面积
S = πr²
半径的平方乘π
扇形的弧长
l = 2πr × x360
圆的周长乘x/360
扇形的面积
S = πr² × x360 = 12rl
圆的面积乘x/360。知道半径和弧长时，也可以用 (1/2) × r × l 求
💡 为什么 S = (1/2)rl
①想象把扇形从圆心起切成许多非常细的小块
②每一小块都接近一个三角形，底是一小段弧，高是半径r
③把所有小块的面积加起来，就是 (1/2) × r × （底的总和） = (1/2) × r × l
④所以只要知道半径和弧长，不用圆心角也能求出面积

用例题检验

例题 1
求六边形的内角和。
1
n边形的内角和是180° × (n − 2)，六边形 n = 6。
180° × (6 − 2)
2
计算。
= 180° × 4 = 720°
▸ 720°
在图中把n调到6，会分出4个三角形，内角和显示为720°。
例题 2
求半径为6、圆心角为60°的扇形面积。（结果保留π）
1
扇形面积等于圆的面积乘 圆心角/360°。
面积 = π × 6² × (60/360)
2
计算。
= 36π × 1/6 = 6π
▸ 6π
在图中取半径6、圆心角60°，面积显示为 6π ≈ 18.85。

考试要点

多边形和扇形的核心公式
180(n-2), πr², 12rl
内角和、圆的面积、扇形的面积
七年级校内测验题型
正五边形每个内角的度数是多少？
①100°
②108°
③110°
④120°
⑤135°
▸ ② 108°
1
五边形的内角和是180° × (5 − 2) = 540°。
180° × (5 − 2) = 540°
2
正五边形五个内角相等，所以除以5。
540° ÷ 5 = 108°
🎯 考试要点
①n边形的内角和是180° × (n − 2)
②外角和与n无关，总是360°，容易误以为它会随n变大
③正六边形每个内角是120°，正八边形每个内角是135°
④弧长和面积都与圆心角成正比，可以用比例式求
⑤已知半径和弧长时，用 S = (1/2)rl
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