多边形与圆

Polygon & Circle

多边形是由若干条线段围成的图形，其中藏着内角和外角。就像把比萨切成n块，从一个顶点引出对角线就能把多边形分成几个三角形，于是内角和为何等于180°×(n−2)一目了然。外角和与边数无关，永远都是360°，而作为圆一部分的扇形，会按中心角的比例分得弧长与面积。在本页你可以拖动滑块改变边数、中心角和半径，亲眼看看角度与扇形如何随之变化。

直观导入 — 把比萨切成n块？

边数 n5

🍕 用比萨理解

①将比萨n等分时每块的中心角为 360/n°

②多边形类似 — 从一个顶点引对角线得三角形

③单个三角形内角和 180°

④三角形共 (n-2) 个，故内角和为 180×(n-2)°

内角与外角关系

内角和

内角和 = 180° × (n − 2)

n边形可分为 (n−2) 个三角形

正多边形的一内角

180° × (n-2)n

正多边形所有内角相等，把和除以n

外角和

外角和 = 360°（任意多边形）

一内角+一外角=180°，外角和恒为360°

💡 为何外角和恒为360°

①想象沿多边形走一圈

②每顶点的转角即外角

③走一圈共转360°，外角和必为360°

圆与扇形

中心角120°

半径 r5

🔍 扇形是圆的一部分

①整圆=中心角360°的扇形

②中心角x°的扇形为圆的 x/360

③弧长与面积都按 x/360 比例

公式推导

圆周长

l = 2πr

直径×π=圆周。若用直径d：l = πd

圆面积

S = πr²

半径平方乘以 π

扇形弧长

l = 2πr × x360

圆周长的 x/360

扇形面积

S = πr² × x360 = 12rl

圆面积的 x/360；也可用 (1/2)×r×弧长求得

💡 为何 S = (1/2)rl 成立

①把扇形切成许多薄三角形

②每三角形底=弧的小段，高=r

③三角形面积=(1/2)×底×高

④累加得 S = (1/2)×r×l

动手解题

例题 1

求六边形的内角和。

n 边形的内角和为 180° × (n − 2)。这里 n = 6。

180° × (6 − 2)

计算。

= 180° × 4 = 720°

▸ 720°

把多边形分成 (n − 2) 个三角形求内角和。

例题 2

求半径为 6、圆心角为 60° 的扇形的面积。(π 保留)

扇形面积 = πr² × (圆心角/360°)。

面积 = π × 6² × (60/360)

计算。

= 36π × 1/6 = 6π

▸ 6π

扇形是圆的一部分，故乘以圆心角占比(圆心角/360°)。

考试要点整理

多边形·圆·扇形总结

180(n-2), πr², 12rl

三公式为核心

初一校内考试题型

正五边形的一个内角是多少?

①100°

②108°

③110°

④120°

⑤135°

▸ ② 108°

五边形的内角和为 180° × (5 − 2) = 540°。

180° × (5 − 2) = 540°

正五边形五个内角相等，故除以 5。

540° ÷ 5 = 108°

🎯 考试要点

①将n代入 180(n-2) 即得答案

②外角和 360° 与 n 无关

③记住正六边形120°、正八边形135°

④(1/2)rl 公式常出现于解答题

⑤弧长与面积与中心角成正比