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初中一年级 (12-13岁)

初中数学 作图与全等

尺规作图，就是只用没有刻度的直尺和圆规来画图形。直尺用来连接两点，圆规用来画圆或截取长度。 只靠这两样工具，就能把一条线段正好分成两半，并画出与它垂直的直线，也就是垂直平分线。 形状和大小都相同、叠在一起能完全重合的两个图形叫作全等形。两个三角形只要三条边（SSS）、两边及其夹角（SAS）、或一边及其两端的角（ASA）中有一组对应相等，就全等。 这一页里，你会分四步画出垂直平分线，再改变两条边和它们的夹角，看第三条边怎样随之确定。

尺规作图：只用直尺和圆规

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👀 尺规作图的规定
①尺规作图只能用没有刻度的直尺和圆规
②直尺用来画经过两点的线段或延长线段，圆规用来画圆，或量取长度再截到别处
③画垂直平分线时，两条弧的半径必须相等，而且要大于AB的一半，两条弧才会相交
④两个交点P、Q到A和B的距离都等于半径(PA = PB)，所以直线PQ经过AB的中点M，并且与AB垂直

两边及夹角相等的两个三角形

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🔍 什么是全等
①形状、大小都相同，叠在一起能够完全重合的两个图形叫作全等形
②重合时互相重合的顶点、边、角，叫作对应顶点、对应边、对应角。图中标记相同的边互相对应，标出的角也互相对应
③右边的三角形是把左边的三角形翻过来得到的。翻过来以后仍能完全重合，所以两者全等
④用滑块确定两条边和它们的夹角后，第三条边的长和另外两个角就没有别的选择，只能是唯一的。这就是“边角边”(SAS)的意思

三角形全等的判定

边边边（SSS）
三条边分别对应相等
a = a'，b = b'，c = c'
边角边（SAS）
两边及其夹角分别对应相等
a = a'，b = b'，∠C = ∠C'
角边角（ASA）
一边及其两端的角分别对应相等
c = c'，∠A = ∠A'，∠B = ∠B'
💡 选择判定方法时
①SSS是边边边，SAS是边角边，ASA是角边角
②SAS中的角必须是两条边的夹角。如果两边和其中一边的对角（SSA）相等，有时能画出两个不同的三角形，所以不能判定全等
③只有三个角相等（AAA）时，形状相同但大小可能不同，这是相似而不是全等
④两个角相等时第三个角也相等，所以一边和两角对应相等时，可以转化为这条边两端的角相等，用ASA判定

用例题检验

例题 1
△ABC ≌ △DEF，BC = 7，求边EF的长。
1
按符号中的顺序，A ↔ D，B ↔ E，C ↔ F，所以BC的对应边是EF。
BC ↔ EF（对应边）
2
全等图形的对应边相等。
EF = BC = 7
▸ EF = 7
找对应边要看全等符号中顶点的顺序，而不是看字母长得像不像。
例题 2
△ABC ≌ △DEF，∠A = 50°，∠B = 60°，求∠F的度数。
1
三角形内角和是180°，先求∠C。
∠C = 180° − 50° − 60° = 70°
2
C和F都排在第三位，是对应顶点，所以∠F = ∠C。
∠F = ∠C = 70°
▸ ∠F = 70°
题中没有直接给出∠F，但找到它的对应角，再用内角和，就能求出来。

考试要点

全等符号
△ABC ≌ △DEF
对应顶点要按相同顺序写：A ↔ D，B ↔ E，C ↔ F
七年级校内测验题型
下列条件中，一定能使两个三角形全等的是哪一项？
①三个角分别对应相等
②两条边分别对应相等
③三条边分别对应相等
④面积相等
⑤周长相等
▸ ③ 三条边分别对应相等
1
三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA。
SSS、SAS、ASA
2
三条边分别对应相等就是SSS。只有角相等时大小可能不同（①）；只有两条边，夹角不确定（②）；面积或周长相等，形状仍可能不同（④⑤）。
三边对应相等 ⇒ SSS
🎯 考试要点
①三角形全等的判定有SSS、SAS、ASA三种
②SAS中的角必须是夹角，SSA和AAA不能判定全等
③全等图形的对应边相等，对应角相等
④用全等符号表示时，对应顶点要写在对应位置上
⑤写作图步骤时，要依次说明以哪一点为圆心、以多长为半径画弧
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多边形与圆

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