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初中一年级 (12-13岁)

初中数学 正比例与反比例

正比例是指一个量变成2倍、3倍时，另一个量也同样变成2倍、3倍的关系，写作 y = ax。 以不变的速度走路，走的时间变成两倍，走过的路程也变成两倍，这就是正比例的好例子。 反比例的形式是 y = a/x：走一段固定的路程，速度变成两倍，所用时间就减半；一个量变大，另一个量就变小，两者的积 xy 始终不变。 这一页里，你可以改变比例系数a，观察经过原点的直线和双曲线，并在图中检验商 y ÷ x 和积 x × y 是否不变。

正比例 y = ax

2
👀 正比例
①x变成2倍、3倍……时，y也变成2倍、3倍……，就说y与x成正比例
②解析式是 y = ax (a ≠ 0) 的形式；对不为0的x，y ÷ x 的值始终等于a
③图象是经过原点的一条直线，图中的三个点都在同一条直线上
④a > 0 时直线从左向右上升，a < 0 时从左向右下降

反比例 y = a/x

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🔍 反比例
①x变成2倍、3倍……时，y变成1/2、1/3……，就说y与x成反比例
②解析式是 y = a/x (a ≠ 0) 的形式，x × y 的值始终等于a，所以图中长方形的面积都相等
③图象是无限接近坐标轴却不与它们相交的两支曲线，叫作双曲线
④a > 0 时图象在第一、三象限，a < 0 时在第二、四象限

比例系数的意义

正比例的比例系数
a = yx
x ≠ 0 时，y ÷ x 的值始终是a
反比例的比例系数
a = xy
x × y 的值始终是a
💡 求比例系数
①正比例中，只要知道图象上一点(x, y)，就能用 a = y ÷ x 求出
②反比例中，只要知道一点(x, y)，就能用 a = x × y 求出
③a的正负决定图象经过哪些象限
④正比例中，|a|越大，直线越靠近y轴，也越陡

用例题检验

例题 1
y与x成正比例，当 x = 2 时 y = 6。用含x的式子表示y。
1
正比例的形式是 y = ax。代入 x = 2、y = 6 求a。
6 = a × 2 ⇒ a = 3
2
把 a = 3 代入解析式。
y = 3x
▸ y = 3x
在图中把a调到3，x = 1、2、3 的点分别在(1, 3)、(2, 6)、(3, 9)，其中9超出了图的范围，所以只看到前两个点。
例题 2
y与x成反比例，当 x = 3 时 y = 4。求 x = 6 时y的值。
1
反比例的形式是 y = a/x，a = x × y = 3 × 4 = 12。
y = 12/x
2
代入 x = 6。
y = 12/6 = 2
▸ y = 2
x从3变成6，扩大到2倍，y从4变成2，缩小一半。积 3 × 4 = 6 × 2 = 12 保持不变。

考试要点

正比例
y = ax → 经过原点的直线
|a|越大，直线越陡、越靠近y轴
反比例
y = ax
a > 0 在第一、三象限；a < 0 在第二、四象限
七年级校内测验题型
反比例函数 y = 12/x 的图象经过点(a, 3)，a的值是多少？
①2
②3
③4
④6
⑤12
▸ ③ 4
1
把点(a, 3)代入解析式。
3 = 12/a
2
求a。
a = 12 ÷ 3 = 4
🎯 考试要点
①用 y ÷ x 是否不变、x × y 是否不变来区分正比例和反比例
②根据图象经过的象限判断比例系数的正负
③正比例中，a的绝对值越大，直线越陡
④反比例的图象无限接近坐标轴，但不相交
⑤速度一定时，路程与时间成正比例；路程一定时，速度与时间成反比例
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