正比例与反比例

Proportional & Inverse Proportional

正比例是指一方变成2倍、3倍时，另一方也同样变成2倍、3倍的关系，写作y = ax。以一定的速度走路，时间越长距离也成比例地越长，就是正比例的好例子。反比例写作y = a/x，正好相反，固定路程走得越快用时越短，一方变大另一方就变小，乘积xy始终不变。本页让你用滑块改变比例常数a，观察过原点的直线和双曲线如何变化。

正比例：y = ax

比例常数a2

👀 什么是正比例？

①x加倍 → y加倍；x变3倍 → y变3倍

②y = ax (a ≠ 0)的形式

③图象：过原点的直线

④a > 0：向右上；a < 0：向右下

反比例：y = a/x

比例常数a6

🔍 什么是反比例？

①x加倍 → y减半

②y = a/x (a ≠ 0)的形式

③图象：双曲线（趋近坐标轴但不相交）

④xy = a（乘积恒定）

比例常数的意义

正比例常数

a = yx

y/x恒等于a

反比例常数

a = xy

xy恒等于a

💡 求比例常数

①正比例：知一点(x, y)则a = y/x

②反比例：知一点则a = xy

③比例常数的符号决定图象位置

动手解题

例题 1

y 与 x 成正比，且 x = 2 时 y = 6。用 x 的式子表示 y。

正比为 y = ax。代入 x = 2, y = 6 求 a。

6 = a × 2 ⇒ a = 3

把 a = 3 代入式子。

y = 3x

▸ y = 3x

正比 y = ax 的 a 由一组 (x, y) 求得。

例题 2

y 与 x 成反比，且 x = 3 时 y = 4。求 x = 6 时的 y。

反比为 y = a/x。a = xy = 3 × 4 = 12。

y = a/x, a = 3 × 4 = 12

代入 x = 6。

y = 12/6 = 2

▸ y = 2

反比中乘积 xy 恒为定值(= a)。

考试要点整理

正比例

y = ax → 经过原点的直线

|a|越大，直线越陡(更靠近y轴)

反比例

y = ax

a > 0：第1·3象限／a < 0：第2·4象限

初一校内考试题型

反比关系 y = 12/x 的图象过点 (a, 3)，则 a 的值为?

①2

②3

③4

④6

⑤12

▸ ③ 4

把点 (a, 3) 代入方程。

3 = 12/a

求 a。

a = 12/3 = 4

🎯 考试要点

①正比例 vs 反比例：y/x恒定 vs xy恒定

②由图象判断常数符号

③正比例：|a|越大越陡

④反比例：渐近于坐标轴但不相交

⑤生活例：速度·时间(反比例)、距离·时间(正比例)