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初中一年级 (12-13岁)

初中数学 坐标平面与图象

坐标平面是画出水平的x轴和竖直的y轴，用一对数来表示平面上一点位置的方法。 就像地图上说“横着第几格、竖着第几格”，点(3, 2)就是从原点向右走3、向上走2的位置。 把位置写成数以后，只看符号就能说出这个点在哪个象限，以及它关于坐标轴或原点的对称点在哪里。 这一页里，你可以移动点P，查看它所在的象限和三个对称点，还会提前了解怎样用直角三角形求两点之间的距离。

用两个数表示位置的坐标

3
2
🗺️ 什么是坐标
①两条数轴在原点O处互相垂直，就组成了坐标平面。水平的是x轴，竖直的是y轴
②点的位置按（横坐标，纵坐标）的顺序写。P(3, 2)是从原点向右3、向上2的点
③横坐标向右为正、向左为负；纵坐标向上为正、向下为负
④原点O的坐标是(0, 0)。图中的虚线是从P向两条坐标轴作的垂线，顺着它就能读出坐标

判断象限

判断象限
第一：(+, +) 第二：(−, +) 第三：(−, −) 第四：(+, −)
只看横、纵坐标的符号，就能确定象限
🔍 四个象限
①第一象限在右上方，x > 0，y > 0
②第二象限在左上方，x < 0，y > 0
③第三象限在左下方，x < 0，y < 0
④第四象限在右下方，x > 0，y < 0
⑤坐标轴上的点不属于任何象限。x轴上的点y = 0，y轴上的点x = 0。在图中把P移到坐标轴上，下面的句子会变成“x轴上”或“y轴上”

关于坐标轴和原点的对称点

关于x轴对称
(a, b) → (a, −b)
沿x轴对折后重合的位置，只有纵坐标变号
关于y轴对称
(a, b) → (−a, b)
沿y轴对折后重合的位置，只有横坐标变号
关于原点对称
(a, b) → (−a, −b)
绕原点旋转180°后的位置，两个坐标都变号
💡 怎样不把对称点弄混
①关于x轴对称时，x轴就是折痕：对折后横坐标不变，只有纵坐标变号
②关于y轴对称正好相反，只有横坐标变号
③关于原点对称，相当于先关于x轴、再关于y轴对称，所以两个坐标都变号
④把图下方图例里三个对称点的坐标和P的坐标放在一起比较，哪个符号变了一眼就能看出

两点之间的距离（预习）

4
-1
两点之间的距离
d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
是以横向差、纵向差为两条直角边的直角三角形的斜边。勾股定理以后会学到
🔍 为什么要用直角三角形
①从A画水平线、从B画竖直线，两条线垂直相交，组成一个直角三角形
②横向那条边的长是横坐标之差|x₂ − x₁|，竖向那条边的长是纵坐标之差|y₂ − y₁|
③两点之间的距离就是这个三角形的斜边，用斜边² = 横边² + 竖边²（勾股定理）求出
④像一开始的图那样，A(3, 2)、B(4, −1)时，两条直角边是1和3，距离是√10 ≈ 3.16

用例题检验

例题 1
点P(−3, 2)在第几象限？
1
看横坐标和纵坐标的符号。
x = −3 < 0，y = 2 > 0
2
符号为(−, +)的点在左上方，即第二象限。
(−, +) ⇒ 第二象限
▸ 第二象限
在图中把P移到(−3, 2)，它落在左上方的区域，下面的句子也会变成“第二象限”。
例题 2
求点A(2, −5)关于x轴的对称点的坐标。
1
关于x轴对称时，只有纵坐标变号。
(x, y) → (x, −y)
2
代入A的坐标。
(2, −5) → (2, 5)
▸ (2, 5)
同一个点关于y轴的对称点是(−2, −5)，关于原点的对称点是(−2, 5)。三个放在一起，区别就很清楚了。

考试要点

坐标平面要点
点P(a, b)：（横坐标，纵坐标）的顺序
(2, 3)和(3, 2)是两个不同的点
七年级校内测验题型
点(a, b)在第三象限，那么点(−a, b)在第几象限？
①第一象限
②第二象限
③第三象限
④第四象限
⑤x轴上
▸ ④ 第四象限
1
点在第三象限，所以a < 0，b < 0。
a < 0，b < 0
2
−a > 0，b < 0，符号是(+, −)。
(−a, b) = (+, −) ⇒ 第四象限
🎯 考试要点
①坐标按(x, y)的顺序写
②x轴上的点y = 0，y轴上的点x = 0，它们不属于任何象限
③根据两个坐标的符号判断象限
④求对称点之前，先看清是关于x轴、y轴还是原点对称
⑤图上的一格不一定代表1，先读坐标轴上的数
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正比例与反比例

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