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初中一年级 (12-13岁)

初中数学 整数与有理数

整数包括1、2、3这样的正整数、0，以及−1、−2、−3这样的负整数。 像零下5度、地下3层这样，以0为基准表示相反的一边时，就需要负数；再把分数也算进来，和整数一起就组成了有理数。 在数轴上，一个数到0的距离叫作它的绝对值。+3和−3方向相反，绝对值却都是3。 这一页里，你可以用图看清各类数之间的包含关系，再在数轴上选数，检验绝对值和大小比较。

从自然数到有理数

👀 为什么需要负数
①如果把零上5°C记作+5°C，零下5°C就可以记作−5°C
②如果把地上3层记作+3层，地下3层就是−3层
③像这样以0为基准、表示方向相反的量时，就用正号+和负号−
④再加上−1/2、2/3这样不是整数的数，就得到有理数。如图所示，自然数包含在整数里，整数又包含在有理数里

数轴上的整数和绝对值

3
🔍 绝对值
①数轴上表示一个数的点与原点0之间的距离，叫作这个数的绝对值
②|+3| = 3，|−3| = 3。图中+3和−3在0的两侧，离0的距离相同
③绝对值是距离，所以是0或正数，|0| = 0
④除了0以外，绝对值相同的数总有两个，一正一负

比较大小

整数的大小关系
负数 < 0 < 正数
数轴上越往右的数越大
两个负数比较
绝对值越大的负数越小
|−5| > |−3|，所以 −5 < −3
💡 比较法则
①正数大于0，负数小于0
②符号不同时，正数总是大于负数
③两个正数，绝对值大的较大
④两个负数，绝对值大的反而小，因为它在数轴上更靠左

用例题检验

例题 1
分别求−5和+3的绝对值。
1
绝对值是到原点的距离，所以去掉符号，只看大小。
|−5| = 5
2
+3离原点也是3。
|+3| = 3
▸ |−5| = 5，|+3| = 3
−5比+3小，但它的绝对值更大。比较数的大小和比较绝对值是两个不同的问题。
例题 2
把−3、+2、0、−1/2这四个数按从小到大的顺序排列。
1
两个负数，绝对值大的反而小，所以−3 < −1/2。
−3 < −1/2 < 0 < +2
2
按从小到大写出。
−3，−1/2，0，+2
▸ −3，−1/2，0，+2
在数轴上标出这四个点，从左到右正是这个顺序。

考试要点

有理数
a/b 的形式(a、b为整数，b ≠ 0)
能写成分子、分母都是整数且分母不为0的分数的数
七年级校内测验题型
绝对值是4的数有哪些？
①4
②−4
③0和4
④−4和4
⑤−4, 0, 4
▸ ④ −4和4
1
绝对值是4的数，就是到原点距离为4的数。
|x| = 4
2
原点左右各有一个。
x = +4 或 x = −4
🎯 考试要点
①记住自然数 ⊂ 整数 ⊂ 有理数的包含关系
②0既不是正数也不是负数
③绝对值相同、符号相反的两个数，在数轴上隔着0相对，它们的和是0
④整数3也能写成3/1，所以是有理数
⑤比较两个负数时，绝对值大的反而小
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