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初中一年级 (12-13岁)

初中数学 最大公约数与最小公倍数

最大公因数是能同时整除两个数的数中最大的一个，最小公倍数是两个数公有的倍数中最小的一个。 把12的倍数和18的倍数排在数轴上，它们在36、72处重合，第一个重合的36就是最小公倍数。 把两个数分解质因数，再分装进韦恩图，重叠部分的积是最大公因数，全部的积是最小公倍数。 这一页里，你可以改变两个数，查看重合的倍数和公有的质因数，并了解为什么两个数的积等于最大公因数与最小公倍数的积。

倍数重合的地方

12
18
👀 倍数重合的地方
①把两个数的倍数分别列出来，会有一些数在两边都出现，这就是公倍数
②公倍数中最小的那个是最小公倍数，在图中就是上下第一次用虚线连起来的地方
③所有公倍数都是最小公倍数的倍数。12和18的公倍数是36、72、108……每次多36
④如果一个数是另一个数的倍数，那么较大的数就是最小公倍数

用韦恩图看质因数

🔍 分装进韦恩图
①12 = 2² × 3，18 = 2 × 3²。把两个数都有的2和3放在中间，剩下的2放在12这边，剩下的3放在18那边
②把中间的数相乘，得到最大公因数：2 × 3 = 6
③把左边、中间、右边的数全部相乘，得到最小公倍数：2 × 2 × 3 × 3 = 36
④如果没有公有的质因数，最大公因数就是1，这样的两个数叫作互质数

最大公因数 × 最小公倍数 = 两数之积

和两数之积的关系
A × B = 最大公因数 × 最小公倍数
12 × 18 = 216 = 6 × 36
求最小公倍数
最小公倍数 = A × B ÷ 最大公因数
先求出最大公因数，就能马上算出最小公倍数：216 ÷ 6 = 36
💡 为什么积相等
①把A × B写成质因数的积，韦恩图中间的部分被乘了两次
②最小公倍数是三部分各乘一次，最大公因数是中间部分
③所以最大公因数 × 最小公倍数也是中间乘两次、两边各乘一次，正好等于A × B
④算完以后用这个关系检验，就能发现错误

用例题检验

例题 1
求12和18的最大公因数。
1
把两个数分解质因数。
12 = 2² × 3，18 = 2 × 3²
2
把公有的质因数2和3按较小的指数选出来相乘。
最大公因数 = 2 × 3 = 6
▸ 6
它等于韦恩图中间的2和3相乘的结果。
例题 2
求12和18的最小公倍数。
1
把两个数分解质因数。
12 = 2² × 3，18 = 2 × 3²
2
把所有质因数按较大的指数选出来相乘。
最小公倍数 = 2² × 3² = 36
▸ 36
检验：12 × 18 = 216，6 × 36 = 216。在数轴上，第一次重合的地方也是36。

考试要点

最大公因数
把公有的质因数按较小的指数相乘
能同时整除两个数的最大的数
最小公倍数
把所有质因数按较大的指数相乘
两个数的公倍数中最小的数
七年级校内测验题型
用同样大小的正方形瓷砖把长18 cm、宽12 cm的长方形铺满，不留空隙。瓷砖要尽量大，瓷砖的边长是多少？
①2
②3
③6
④9
⑤12
▸ ③ 6
1
瓷砖的边长必须能同时整除12和18，而且是其中最大的数。
边长 = 12和18的最大公因数
2
求最大公因数。
= 2 × 3 = 6（cm）
🎯 考试要点
①平均分、铺最大的正方形瓷砖等“尽量分得大”的问题，用最大公因数解
②同时出发后再次相遇等“第一次同时对齐”的问题，用最小公倍数解
③三个数的最大公因数和最小公倍数也用同样的方法求
④最大公因数是1的两个数互质，这时最小公倍数就是两数之积
⑤用A × B = 最大公因数 × 最小公倍数检验
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