最大公约数与最小公倍数

GCD & LCM

最大公约数是能同时整除两数的最大的数，最小公倍数是它们公共倍数中最小的数。把12和18的倍数排开，重合处就是公倍数；把素因数分解叠进韦恩图，公共部分就是最大公约数。两数之积永远等于最大公约数乘最小公倍数，所以知道其一就能立刻求出另一个。在本页可以改变两个数，亲眼看看倍数在哪里重合、它们共有哪些素因数。

公约数与公倍数

数A12

数B18

👀 倍数重合处

①列出两数的倍数会有相同的数

②它们是公倍数

③其中最小的是最小公倍数(LCM)

用韦恩图观察

🔍 韦恩图的秘密

①交集（共同）→ 最大公约数(GCD)

②并集（全部）→ 最小公倍数(LCM)

③GCD：共同素因数最小指数之积

④LCM：所有素因数最大指数之积

GCD×LCM 关系

GCD·LCM 关系式

a × b = GCD(a,b) × LCM(a,b)

两数之积 = 最大公约数 × 最小公倍数

求LCM

LCM(a,b) = a × bGCD(a,b)

先求GCD，再立即得LCM

💡 计算顺序

①把两数分解为素因数

②共同素因数的最小指数 → GCD

③所有素因数的最大指数 → LCM

④验算：GCD × LCM = a × b

动手解题

例题 1

求两数 12 与 18 的最大公约数。

把两数分解质因数。

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²

取公共质因数的较低指数相乘。

最大公约数 = 2 × 3 = 6

▸ 6

最大公约数取公共质因数的较低指数相乘。

例题 2

求两数 12 与 18 的最小公倍数。

把两数分解质因数。

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²

取所有质因数的较高指数相乘。

最小公倍数 = 2² × 3² = 36

▸ 36

最小公倍数取所有质因数的较高指数相乘。

考试要点整理

最大公约数

GCD = 共同素因数最小指数之积

能同时整除两数的最大的数

最小公倍数

LCM = 所有素因数最大指数之积

两数公倍数中最小者

初一校内考试题型

用正方形瓷砖恰好铺满长 12 cm、宽 18 cm 的长方形，可用的最大正方形边长为?

①2

②3

③6

④9

⑤12

▸ ③ 6

恰好铺满的最大正方形边长是两边的最大公约数。

边长 = 最大公约数(12, 18)

求最大公约数。

= 2 × 3 = 6 (cm)

🎯 考试要点

①GCD用途：等分·最大正方形

②LCM用途：同时出发·最小公共周期

③三数同理

④互质：GCD = 1

⑤验算：GCD × LCM = a × b