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我的单词本
初中一年级 (12-13岁)

素因数分解

Prime Factorization

素因数分解,就是把一个自然数拆成不能再分的素数之积。 就像把乐高一块块拆开,每个合数都只能用唯一一种方式写成素数的乘积。 把相同的素因数写成幂,再给每个指数加1相乘,就能立刻求出约数的个数。 在本页可以改变数字,观察因数树如何一直分叉到叶子全是素数。

直观导入 — 把数拆开
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🧱 像乐高一样拆分
①约数:能整除的数(12的约数:1,2,3,4,6,12)
②素数:仅有1和自身为约数(2,3,5,7,11,13...)
③素因数分解:把自然数分解为素数之积
④乐高积木 = 素数,完成品 = 合数
素因数分解树
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素因数分解步骤
从最小素数(2)依次试除
2 → 3 → 5 → 7 → ... 直到商为1
幂表示
72 = 23 × 32
相同素因数用幂合并
📝 纵式除法
①左侧记素因数,右侧记商
②如:72 → 2|72 → 2|36 → 2|18 → 3|9 → 3
③将左侧相乘:72 = 2×2×2×3×3 = 2³×3²
④顺序不同结果相同(唯一)
约数的个数
约数个数
N = pa × qb → (a+1)(b+1)
各素因数指数加1再相乘
例:72的约数
72 = 23 × 32 → (3+1)(2+1) = 12
实际:1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72
💡 为何(指数+1)相乘
①作 72 = 2³×3² 的约数
②2 可使用 0,1,2,3 次 → 4 种
③3 可使用 0,1,2 次 → 3 种
④组合共 4×3=12 个
与GCD和LCM的联系
12
18
GCD(最大公约数)
取每个共同素因数指数最小
只取共同素因数,指数取最小
LCM(最小公倍数)
取每个素因数指数最大
所有素因数,指数取最大
🔍 GCD × LCM = a × b
①GCD×LCM = 两数之积
②已知GCD可立刻求LCM
③考试常考此关系
动手解题
例题 1
将 60 分解质因数。
1
用最小的质数 2 去除:60 ÷ 2 = 30,30 ÷ 2 = 15。
60 = 2 × 2 × 15
2
因 15 = 3 × 5,用幂的形式整理。
60 = 2² × 3 × 5
60 = 2² × 3 × 5
从小质数依次去除,再用幂整理。
例题 2
求 72 的约数个数。
1
先分解质因数。
72 = 2³ × 3²
2
把各指数加 1 后相乘。
(3 + 1)(2 + 1) = 4 × 3 = 12
12 个
约数个数 = (各质因数指数 + 1) 之积。
考试要点整理
素因数分解总结
N = p1a_1 × p2a_2 × ...
所有合数可唯一分解为素数之积
初一 校内考试 题型
把 60 乘以一个自然数使其成为某自然数的平方。可乘的最小自然数是?
3
5
15
30
60
③ 15
1
由 60 = 2² × 3 × 5,平方数需所有质因数的指数为偶数。
60 = 2² × 3 × 5
2
乘以指数为奇数的 3 与 5 使其变偶。
60 × (3 × 5) = 900 = 30²,所乘数 = 15
🎯 考试要点
①1既非素也非合
②最小素数=2(唯一偶素)
③素因数分解唯一
④约数个数=(指数+1)之积
⑤GCD×LCM = a×b
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最大公约数与最小公倍数
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