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初一数学
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自然数的性质
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素因数分解
Prime Factorization
直观导入 — 把数拆开
约数格 — 金色为素因数，蓝色为约数
选数
36
🧱 像乐高一样拆分
①约数：能整除的数（12的约数：1,2,3,4,6,12）
②素数：仅有1和自身为约数（2,3,5,7,11,13...）
③素因数分解：把自然数分解为素数之积
④乐高积木 = 素数，完成品 = 合数
素因数分解树
因数树 — 叶节点全为素数
待分解数
36
素因数分解步骤
从最小素数(2)依次试除
2 → 3 → 5 → 7 → ... 直到商为1
幂表示
72 = 2
3
× 3
2
相同素因数用幂合并
📝 纵式除法
①左侧记素因数，右侧记商
②如：72 → 2|72 → 2|36 → 2|18 → 3|9 → 3
③将左侧相乘：72 = 2×2×2×3×3 = 2³×3²
④顺序不同结果相同（唯一）
约数的个数
约数个数
N = p
a
× q
b
→ (a+1)(b+1)
各素因数指数加1再相乘
例：72的约数
72 = 2
3
× 3
2
→ (3+1)(2+1) = 12
实际：1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72
💡 为何(指数+1)相乘
①作 72 = 2³×3² 的约数
②2 可使用 0,1,2,3 次 → 4 种
③3 可使用 0,1,2 次 → 3 种
④组合共 4×3=12 个
与GCD和LCM的联系
通过素因数分解求 GCD 与 LCM
数A
12
数B
18
GCD（最大公约数）
取每个共同素因数指数最小
只取共同素因数，指数取最小
LCM（最小公倍数）
取每个素因数指数最大
所有素因数，指数取最大
🔍 GCD × LCM = a × b
①GCD×LCM = 两数之积
②已知GCD可立刻求LCM
③考试常考此关系
考试要点整理
素因数分解总结
N = p
1
a_1
× p
2
a_2
× ...
所有合数可唯一分解为素数之积
🎯 考试要点
①1既非素也非合
②最小素数=2（唯一偶素）
③素因数分解唯一
④约数个数=(指数+1)之积
⑤GCD×LCM = a×b
다음 →
最大公约数与最小公倍数