初中数学 素因数分解
分解质因数，就是把一个自然数写成不能再分的质数的乘积。
像把积木一块一块拆开那样，不断地去除合数，最后只剩下质数；这些质数的乘积除了相乘的顺序以外，只有一种。
相同的质因数用乘方合起来写，再把每个指数加1后相乘，就能马上知道这个数有几个因数。
这一页里，你可以改变数，观察因数表和分解质因数的树形图，再从两个数的指数表中找出最大公因数和最小公倍数。
因数、质数和质因数
想把一个数的因数一个不漏地数出来，或者求两个数的最大公因数和最小公倍数时，先把这个数写成不能再分的质数的乘积会更快。这样改写叫作分解质因数，相同的质因数用乘方合起来写。不管按什么顺序去除，结果都只有一种，这一点让我们可以放心使用这个方法。下面的因数表先帮你看清：能整除所选数的数在哪里，其中哪些是质数。
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因数表：金色圆是质因数，蓝色圆是其他因数因数表里，从1到所选的数（最多48）每个数各占一格。能整除所选数的数涂成蓝色圆，其中是质数的涂成金色圆，金色圆就是质因数。比如选36，1、2、3、4、6、9、12、18、36会被涂色，其中只有2和3是金色。选一个质数时，只有1和它本身这两格被涂色。
🧱 因数、质数和质因数
①能整除一个数的数叫作它的因数。12的因数是1、2、3、4、6、12
②质数是大于1、且只有1和它本身两个因数的自然数：2、3、5、7、11、13……
③大于1的自然数中，不是质数的叫作合数。1既不是质数也不是合数
④因数中是质数的，叫作质因数。12的质因数是2和3
分解质因数的树形图
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分解质因数的树形图：每次分出最小的质因数，最后叶子上只剩质数分解质因数的步骤
从最小的质数2开始依次去除
2 → 3 → 5 → 7 → …… 一直除到商为1
用乘方表示
72 = 23 × 32
相同的质因数用乘方合起来写
📝 用短除法竖着写
①左边写除数（质数），下面写商
②比如72：72 ÷ 2 = 36，36 ÷ 2 = 18，18 ÷ 2 = 9，9 ÷ 3 = 3，商是质数3时停下
③把除过的质数和最后的商全部相乘：72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
④图中树形图落到左边叶子上的数，就是短除法左边写的数
因数的个数
人们很容易把1当成质数，或者以为除的顺序不同，分解质因数的结果也会不同。1只有一个因数，所以既不是质数也不是合数；2是质数中唯一的偶数。72无论先除以2还是先除以3，结果都是2³ × 3²。要一直除到商是质数为止，中途停下就会留下合数。
因数的个数
N = pa × qb → (a+1)(b+1)
把每个质因数的指数加1后相乘
72的因数
72 = 23 × 32 → (3+1)(2+1) = 12
实际数一数：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72，共12个
💡 为什么要把指数加1再相乘
①72 = 2³ × 3²的因数，都是由若干个2和若干个3相乘得到的
②2可以乘0次、1次、2次、3次，共4种
③3可以乘0次、1次、2次，共3种
④两种选择搭配起来有4 × 3 = 12种，所以因数有12个。关键是不要漏掉“乘0次”的情况
联系最大公因数和最小公倍数
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从两个数的指数表中选出最大公因数和最小公倍数最大公因数
把公有的质因数按较小的指数相乘
只用两个数都有的质因数
最小公倍数
把所有质因数按较大的指数相乘
只要在其中一个数里出现的质因数，都要用上
🔍 最大公因数 × 最小公倍数 = A × B
①两个数的最大公因数与最小公倍数相乘，等于这两个数的乘积
②在指数表中，每一列较小的指数与较大的指数相加，等于两个数的指数之和
③所以知道最大公因数后，最小公倍数就可以用 A × B ÷ 最大公因数 直接求出
用例题检验
解分解质因数的题，要从最小的质数开始除，反复进行，直到商是质数。相同的质数用乘方合起来；问因数个数时，把每个指数加1再相乘。从较大的质数开始，结果也一样，但判断能否整除会更麻烦。下面两道例题都按这个顺序来做。
例题 1
把60分解质因数。
1先用最小的质数2去除：60 ÷ 2 = 30，30 ÷ 2 = 15。
60 = 2 × 2 × 15
215 = 3 × 5，再用乘方整理。
60 = 2² × 3 × 5
▸ 60 = 2² × 3 × 5
在树形图中选60，左边的叶子上依次落下2、2、3，最后剩下5。
例题 2
求72的因数个数。
2把每个指数加1后相乘。
(3 + 1)(2 + 1) = 4 × 3 = 12
▸ 12个
在树形图中选72，下方会直接显示“(3 + 1) × (2 + 1) = 12个”。
考试要点
分解好质因数，下一章的最大公因数和最小公倍数就能马上选出来：最大公因数是把公有的质因数按较小的指数相乘，最小公倍数是把所有质因数按较大的指数相乘。这两条规则很容易用反，所以可以像上面的指数表那样，把两个数的指数一行一行并排写出，再逐列比较。
分解质因数的形式
N = p1a_1 × p2a_2 × ...
大于1的自然数都能写成质数的乘积，而且除了相乘的顺序以外，写法只有一种
七年级校内测验题型
给60乘一个自然数，使结果成为某个自然数的平方。乘的数最小是多少？
▸ ③ 15
1要成为某个数的平方，分解质因数后所有指数都必须是偶数。
60 = 2² × 3 × 5
2再各乘一次指数为奇数的3和5，所有指数就都变成偶数。
60 × (3 × 5) = 900 = 30²，乘的数 = 15
🎯 考试要点
①1既不是质数也不是合数
②最小的质数是2，偶数中只有2是质数
③分解质因数的结果，除了顺序以外是唯一的
④因数个数等于各个（指数 + 1）的乘积
⑤最大公因数 × 最小公倍数 = 两数之积
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