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高中二~高中三年级 (16-18岁)

概率统计 统计推断

无法调查整个总体时，用一个样本得到的数值来估计总体均值大概落在什么范围，这就是统计推断中的估计。 样本均值在总体均值附近以标准差 σ/√n 摆动，所以把样本均值放在中间，两边各加上误差界 z × σ/√n，就得到置信区间。 提高置信水平，z 变大，区间变宽；增大样本，σ/√n 变小，区间变窄，两者此消彼长。 拖动样本容量和置信水平滑块，区间会在固定的比例尺上真正变宽或变窄；下方还显示重新抽样 8 次得到的区间中，有几个包含总体均值。

总体与样本

🔬 什么是统计估计
①难以调查整个总体时，用抽出的一部分样本来推测总体
②用由样本算出的样本均值来估计总体均值
③关键问题是样本均值离总体均值有多近，误差该取多大

样本均值的分布

25
10
样本均值的分布
X̄ ∼ N(μ, σ2n)
总体服从 N(μ, σ²) 时，容量为 n 的样本均值 X̄ 的分布
💡 样本容量的作用
①n 越大，X̄ 的分布越窄
②它的标准差 σ/√n 叫作标准误差，n 变为 4 倍时标准误差减半
③σ 大时，总体分布和样本均值的分布都一起变宽
④大数定律是说，n 越大，样本均值越接近总体均值

置信区间

36
95%
总体均值的置信区间
x̄ - z × σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z × σ√n
已知总体标准差 σ 时，总体均值 μ 的置信区间
📐 置信水平与 z 值
①置信水平 90% 时 z = 1.645
②置信水平 95% 时 z = 1.96
③置信水平 99% 时 z = 2.576
④提高置信水平区间变宽，增大 n 区间变窄
⑤图下方的 8 个区间中，置信水平越高，包含 μ 的越多

置信区间的含义

误差界
E = z × σ√n
置信区间宽度的一半
所需样本容量
n ≥ (zσE)2
使误差界不超过 E 所需的最小样本容量
⚠️ 纠正常见误解
①“95% 置信区间”不是“μ 落在这个区间内的概率为 95%”
②它的意思是：用同样的方法多次构造区间，其中约 95% 包含 μ
③μ 是确定的值，随样本而变的是区间

例题

例题 1
从均值 μ = 100、标准差 σ = 20 的总体中抽取容量 n = 25 的样本，求样本均值 X̄ 的均值和标准差。
1
样本均值的均值等于总体均值，标准差为 σ/√n。
E(X̄) = μ, σ(X̄) = σ/√n
2
代入 μ = 100，σ = 20，n = 25。
E(X̄) = 100, σ(X̄) = 20/√25 = 4
▸ E(X̄) = 100，σ(X̄) = 4
样本均值的标准差（标准误差）随样本增大而变小。
例题 2
从 σ = 10 的总体中抽取容量 n = 25 的样本，样本均值为 50。求总体均值 μ 的 95% 置信区间。已知 P(|Z| ≤ 1.96) = 0.95。
1
标准误差为 σ/√n = 10/5 = 2。
X̄ − 1.96·σ/√n ≤ μ ≤ X̄ + 1.96·σ/√n
2
用样本均值分别减去、加上误差界 1.96 × 2 = 3.92。
50 − 3.92 ≤ μ ≤ 50 + 3.92，即 46.08 ≤ μ ≤ 53.92
▸ 46.08 ≤ μ ≤ 53.92
置信区间 = 样本均值 ±（与置信水平对应的 z × 标准误差）。

小结

统计估计要点
x̄ - z σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z σ√n
已知 σ 时总体均值的置信区间
韩国高考数学（概率与统计）类题
从标准差为 σ 的总体中抽取容量 n = 64 的样本，以 95% 的置信水平估计总体均值，得到的置信区间长度为 4.9。取置信系数为 1.96，求 σ。
①8
②9
③10
④11
⑤12
▸ ③ 10
1
置信区间的长度是误差界的 2 倍（√64 = 8）。
L = 2 × 1.96 × σ/√n
2
代入数值求 σ。
4.9 = 2 × 1.96 × σ/8 = 0.49σ ⇒ σ = 10
🎯 考试要点
①X̄ 服从 N(μ, σ²/n)
②标准误差是 σ/√n
③置信水平 95% 用 z = 1.96，99% 用 z = 2.576
④误差界 E = zσ/√n
⑤n 变为 4 倍，误差界减半
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