概率与统计›统计

统计推断

Statistical Estimation

总体与样本
🔬 什么是统计推断?
①难以对整个总体调查时
②从一部分（样本）推测整体（总体）
③关键：样本均值能多精确地估计总体均值?
样本均值的分布
25
10
样本均值的分布
X̄ \sim N(μ, σ2n)
总体 N(μ,σ²) 时 X̄ 的分布
💡 样本大小的奇妙
①n 越大 X̄ 分布越窄
②标准误差 = σ/√n，n 增至 4 倍误差减半
③即「大数法则」核心
置信区间
36
95%
总体均值的置信区间
x̄ - z × σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z × σ√n
σ 已知时的置信区间
📐 置信度与 z
①95%：z = 1.96
②99%：z = 2.576
③置信度↑ → 区间变宽
④n↑ → 区间变窄
置信区间的含义
误差界
E = z × σ√n
区间的半宽
所需样本量
n ≥ (zσE)2
使误差小于等于 E 的最小 n
⚠️ 常见误解
①「95% 置信区间」≠「此区间含 μ 的概率为 95%」
②正解：相同方法作 100 次区间，约 95 次包含 μ
③μ 固定，区间随机变化
总结
统计推断核心
x̄ - z σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z σ√n
σ 已知时 μ 的置信区间
🎯 考试要点
①X̄ ~ N(μ, σ²/n)
②标准误差：σ/√n
③95% → z=1.96，99% → z=2.576
④E = zσ/√n
⑤n 提至 4 倍误差减半