统计推断

Statistical Estimation

无法调查整个总体时，用一个样本去推测总体平均可能所在的范围，这就是统计估计。样本平均会在总体平均附近以σ/√n的幅度摆动，所以以该样本平均为中心，左右加上误差界限，就构成置信区间。把置信度提高到95%，z值变大、区间变宽；把样本扩大，区间就变窄，这是一种权衡。拖动样本容量n和置信度滑块，看区间如何变宽变窄，也留意95%并不是「这个区间里含有总体平均的概率」。

总体与样本

🔬 什么是统计推断?

①难以对整个总体调查时

②从一部分（样本）推测整体（总体）

③关键：样本均值能多精确地估计总体均值?

样本均值的分布

样本大小 n25

总体标准差 σ10

样本均值的分布

X̄ ∼ N(μ, σ²n)

总体 N(μ,σ²) 时 X̄ 的分布

💡 样本大小的奇妙

①n 越大 X̄ 分布越窄

②标准误差 = σ/√n，n 增至 4 倍误差减半

③即「大数法则」核心

置信区间

样本大小 n36

置信度 (%)95%

总体均值的置信区间

x̄ - z × σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z × σ√n

σ 已知时的置信区间

📐 置信度与 z

①95%：z = 1.96

②99%：z = 2.576

③置信度↑ → 区间变宽

④n↑ → 区间变窄

置信区间的含义

误差界

E = z × σ√n

区间的半宽

所需样本量

n ≥ (zσE)²

使误差小于等于 E 的最小 n

⚠️ 常见误解

①「95% 置信区间」≠「此区间含 μ 的概率为 95%」

②正解：相同方法作 100 次区间，约 95 次包含 μ

③μ 固定，区间随机变化

动手解题

例题 1

从均值 m = 100、标准差 σ = 20 的总体中抽取大小 n = 25 的样本，求样本均值 X̄ 的均值与标准差。

样本均值的均值等于总体均值，标准差为 σ/√n。

E(X̄) = m, σ(X̄) = σ/√n

代入。

E(X̄) = 100, σ(X̄) = 20/√25 = 4

▸ E(X̄) = 100, σ(X̄) = 4

样本均值的标准差(标准误)随样本增大而减小。

例题 2

从 σ = 10 的总体中抽取大小 n = 25 的样本，其样本均值为 50。求总体均值 m 的 95% 置信区间。(已知 P(|Z| ≤ 1.96) = 0.95)

代入置信区间公式(σ/√n = 10/5 = 2)。

X̄ − 1.96·σ/√n ≤ m ≤ X̄ + 1.96·σ/√n

加减 1.96 × 2 = 3.92。

50 − 3.92 ≤ m ≤ 50 + 3.92，即 46.08 ≤ m ≤ 53.92

▸ 46.08 ≤ m ≤ 53.92

置信区间 = 样本均值 ± (置信系数 × 标准误)。

总结

统计推断核心

x̄ - z σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z σ√n

σ 已知时 μ 的置信区间

高考(修能) 数学(概率与统计) 题型

从标准差为 σ 的总体中抽取大小 n = 64 的样本，以 95% 置信度估计的总体均值的置信区间长度为 4.9。求 σ。(置信系数为 1.96)

①8

②9

③10

④11

⑤12

▸ ③ 10

写出置信区间长度公式(√64 = 8)。

L = 2 × 1.96 × σ/√n

代入求 σ。

4.9 = 2 × 1.96 × σ/8 = 0.49σ ⇒ σ = 10

🎯 考试要点

①X̄ ~ N(μ, σ²/n)

②标准误差：σ/√n

③95% → z=1.96，99% → z=2.576

④E = zσ/√n

⑤n 提至 4 倍误差减半