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高中二~高中三年级 (16-18岁)

概率统计 样本均值的分布

从总体中抽取容量为 n 的样本求平均，把这件事重复很多次，这些样本均值本身也会形成一个分布。 样本均值的均值等于总体均值 μ，但标准差缩小为 σ/√n，所以样本越大，样本均值越集中在总体均值附近。 宽度与 √n 成反比，样本扩大到 4 倍时分散程度减半；n 足够大时，无论总体是什么形状，分布都接近正态分布。 拖大样本容量 n 滑块，和浅色虚线的总体分布相比，蓝色的样本均值分布会在 μ 周围收得又窄又高，图下方会写出它的标准差是 σ 的多少倍。

样本越大，均值越集中

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👀 怎样看这幅图
①样本均值 X̄ 也是随样本而变的随机变量
②浅色虚线是总体的分布，蓝色曲线是容量为 n 的样本均值 X̄ 的分布
③n 变大时，X̄ 的分布以 μ 为中心变窄变高，涂色的带 μ ± σ/√n 内约有 68% 的 X̄
④图中把总体画成正态分布，但由中心极限定理，即使总体不是正态分布，n 大时 X̄ 也接近正态分布

样本均值的均值与标准差

样本均值的期望与标准差
E(X̄) = μ, σ(X̄) = σ/√n
总体均值 μ，总体标准差 σ，样本容量 n。均值不变，标准差变为原来的 1/√n
正态近似
n 充分大时 X̄ ~ N(μ, σ²/n)
即使总体不是正态分布，n 大时 X̄ 也接近正态分布

√n 的作用

📏 宽度与 √n 成反比
①σ(X̄) = σ/√n，所以标准差与 √n 成反比
②n 变为 4 倍时，标准差变为 1/2
③要把分散程度减半，样本要扩大到 4 倍；要减到十分之一，则需要 100 倍

例题

例题 1
从均值 50、标准差 8 的总体中抽取容量为 16 的样本，求样本均值的均值与标准差。
1
代入 E(X̄) = μ，σ(X̄) = σ/√n。
E(X̄) = 50, σ(X̄) = 8/√16
2
除以 √16 = 4。
σ(X̄) = 8/4 = 2
▸ 均值 50，标准差 2
均值保持总体均值不变，只有标准差要除以 √n。
例题 2
对同一总体，样本容量增加到 64 时，样本均值的标准差是多少？
1
σ(X̄) = 8/√64。
2
除以 √64 = 8。
σ(X̄) = 8/8 = 1
▸ 1（n 变为 4 倍，标准差变为 1/2）
n 从 16 增加到 64，即变为 4 倍，标准差从 2 减半为 1。

小结

要点
E(X̄)=μ, σ(X̄)=σ/√n, (n 大) X̄ ~ N(μ, σ²/n)
样本均值服从均值为 μ、标准差为 σ/√n 的分布，n 大时接近正态分布
2021 韩国高考数学类题改编
从标准差为 10 的总体中抽取容量为 25 的样本，样本均值的标准差是多少？
①0.4
②2
③5
④10
⑤50
▸ ② 2
1
把 σ = 10，n = 25 代入 σ(X̄) = σ/√n。
σ(X̄) = 10/√25
2
除以 √25 = 5。
σ(X̄) = 10/5 = 2
🎯 考试要点
①E(X̄) = μ，等于总体均值
②σ(X̄) = σ/√n，要除以 √n
③n 大时 X̄ 接近 N(μ, σ²/n)
④要把分散程度减半，样本扩大到 4 倍
⑤不要把方差 V(X̄) = σ²/n 和标准差 σ/√n 混淆
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