样本均值的分布

Distribution of Sample Mean

从总体中抽出样本再求平均，如此不断重复，这些样本平均也会形成一个分布。奇妙的是，样本平均的平均值仍是总体平均μ，但标准差缩成σ/√n，所以样本越大，分布就越紧地聚在总体平均周围。宽度与√n成反比，把样本扩大4倍，离散就减半，n足够大时形状会接近正态分布。拖大样本容量n滑块，看样本平均的分布如何在总体平均周围收窄聚拢。

增大样本，均值更集中

样本容量 n16

👀 用眼睛看

①样本均值 X̄ 也是随样本变化的随机变量

②增大 n，X̄ 的分布以总体均值为中心逐渐变窄

③宽度与 σ/√n 成正比 — n 增至 4 倍则宽度减半

样本均值的均值与标准差

样本均值的期望·标准差

E(X̄) = m, σ(X̄) = σ/√n

总体均值 m、总体标准差 σ、样本容量 n — 均值不变，标准差为 1/√n 倍

正态近似

n 充分大时 X̄ ~ N(m, σ²/n)

即使总体非正态，n 大时 X̄ 也趋于正态分布

√n 的效应

📏 宽度与 √n 成反比

①因 σ(X̄)=σ/√n，故标准差与 √n 成反比

②n 增至 4 倍，标准差为 1/2 倍

③精度提高一倍需样本增至 4 倍

直接求一求

例题 1

从均值 50、标准差 8 的总体中抽取容量 16 的样本，求样本均值的均值与标准差。

代入 E(X̄)=m, σ(X̄)=σ/√n。

E(X̄) = 50, σ(X̄) = 8/√16

以 √16=4 计算。

σ(X̄) = 8/4 = 2

▸ 均值 50, 标准差 2

均值仍为总体均值，仅标准差除以 √n。

例题 2

同一总体，若样本容量增至 64，样本均值的标准差变为多少？

σ(X̄)=8/√64。

以 √64=8 计算。

σ(X̄) = 8/8 = 1

▸ 1 (n 增 4 倍 → 标准差 1/2 倍)

n 由 16→64 增 4 倍，标准差由 2→1 减半。

总结

核心结论

E(X̄)=m, σ(X̄)=σ/√n, (n 大) X̄ ~ N(m, σ²/n)

样本均值的均值为 m，标准差为 σ/√n — n 大则正态

2021 修能数学类题改编

从标准差为 10 的总体中抽取容量 25 的样本，样本均值的标准差为?

①0.4

②2

③5

④10

⑤50

▸ ② 2

将 σ=10, n=25 代入 σ(X̄)=σ/√n。

σ(X̄) = 10/√25

以 √25=5 计算。

σ(X̄) = 10/5 = 2

🎯 考试要点

①E(X̄)=m(同总体均值)

②σ(X̄)=σ/√n(除以 √n)

③n 大则 X̄~N(m, σ²/n)

④精度翻倍需样本 4 倍

⑤勿与方差 V(X̄)=σ²/n 混淆

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统计推断

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