概率与统计›概率分布

正态分布

Normal Distribution

钟形曲线

🔔 什么是正态分布?

①许多自然·社会现象都符合的钟形分布

②以均值 μ 为中心左右对称

③σ 越小越尖，越大越平

④总面积 = 1（概率之和）

N(μ, σ²) 曲线

均值 μ50

标准差 σ10

正态分布概率密度

f(x) = 1σ√(2π) e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}

N(μ, σ²) 的概率密度

📏 68-95-99.7 法则

①μ ± 1σ：约 68.3%

②μ ± 2σ：约 95.4%

③μ ± 3σ：约 99.7%

④σ 越大越分散

标准正态分布 Z

z 值 ×1015

标准化变换

Z = X - μσ

将 N(μ,σ²) 换为 N(0,1)

💡 标准化的核心

①任意正态都可经 Z 变换归一为 N(0,1)

②一张标准正态表覆盖所有正态概率

③P(a ≤ X ≤ b) = P(z₁ ≤ Z ≤ z₂)

二项与正态

二项分布的正态近似

B(n, p) ≈ N(np, np(1−p)) (n 足够大时)

n 大时二项接近正态

总结

正态分布核心

Z = X-μσ, \quad X \sim N(μ, σ²)

正态分布与标准化变换

🎯 考试要点

①Z = (X−μ)/σ 标准化

②由 Z 表读 P(0≤Z≤z)

③68-95-99.7 法则

④P(Z≥a) = 0.5 − P(0≤Z≤a)

⑤二项 → n 大时用正态近似