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高中二~高中三年级 (16-18岁)

概率统计 正态分布

身高、体重这类自然界中常见的数据，会堆成中间鼓起的钟形，描述这种形状的分布就是正态分布。 均值 μ 决定钟形中央的位置，标准差 σ 决定钟形的宽度；无论哪个正态分布，μ ± σ 内约有 68.3%，μ ± 2σ 内约有 95.4%，μ ± 3σ 内约有 99.7%。 均值和标准差不同的正态分布，只要换成 Z = (X − μ)/σ，就都归到均值为 0、标准差为 1 的标准正态分布，用一张表就能读出概率。 拖动均值 μ 滑块，钟形会左右移动；拖动 σ 滑块，钟形会变得瘦高或扁平；在下面的图中拖动 z，从 0 到 z 的面积就直接读成概率。

钟形曲线

🔔 什么是正态分布
①身高、体重、测量误差这类由许多微小因素叠加而成的数据，服从钟形的分布
②它关于过均值 μ 的竖直线左右对称
③曲线下方的总面积为 1，某个区间上的面积就是落在该区间的概率
④因为面积总是 1，σ 小时又窄又高，σ 大时又宽又低

N(μ, σ²) 曲线

50
10
正态分布的概率密度函数
f(x) = 1σ√(2π) exp(-(x-μ)²/(2σ²))
N(μ, σ²) 的概率密度函数。它决定曲线的形状，概率则在标准化之后查表得到
📏 68、95、99.7 法则
①μ ± σ 区间内约有全体的 68.3%
②μ ± 2σ 区间内约有 95.4%
③μ ± 3σ 区间内约有 99.7%
④在白色箭头末端的点 μ + σ，曲线弯曲的方向发生改变；σ 可以看作从中央到钟形“肩部”的距离

标准正态分布 Z

1.5
标准化
Z = X - μσ
把服从 N(μ, σ²) 的 X 变成服从 N(0, 1) 的 Z 的公式
💡 标准化的含义
①Z 表示 X 离均值有几个标准差
②任何正态分布标准化之后都归为同一个 N(0, 1)
③所以一张标准正态分布表就能算出所有正态分布的概率
④P(a ≤ X ≤ b) = P((a − μ)/σ ≤ Z ≤ (b − μ)/σ)
⑤像图中第二行那样，由于左右对称，P(−z ≤ Z ≤ z) 是 P(0 ≤ Z ≤ z) 的 2 倍；z = 1 时约为 0.6826，与 68.3% 法则一致

二项分布与正态分布

二项分布的正态近似
B(n, p) ≈ N(np, np(1−p)) (n 足够大时)
n 足够大时，二项分布 B(n, p) 接近均值为 np、方差为 np(1 − p) 的正态分布

例题

例题 1
随机变量 X 服从正态分布 N(50, 10²)，把 X = 70 标准化，求 Z 的值。
1
写出标准化公式。
Z = (X − μ)/σ
2
代入 μ = 50，σ = 10。
Z = (70 − 50)/10 = 2
▸ Z = 2
Z = 2 表示 70 比均值 50 大 2 个标准差。
例题 2
随机变量 X 服从 N(50, 10²)，求 P(50 ≤ X ≤ 70)。已知 P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0.4772。
1
把 X = 50 变为 Z = 0，X = 70 变为 Z = 2。
P(50 ≤ X ≤ 70) = P(0 ≤ Z ≤ 2)
2
从标准正态分布表中读出数值。
= 0.4772
▸ 0.4772
正态分布的概率要先标准化，再从标准正态分布表中读出面积。

小结

正态分布要点
Z = X-μσ, X ∼ N(μ, σ2)
正态分布与标准化
评价院模考数学（概率与统计）类题
随机变量 X 服从正态分布 N(60, 8²)，P(X ≥ 60) 的值是多少？
①0.1587
②0.3413
③0.5
④0.6587
⑤0.8413
▸ ③ 0.5
1
正态分布关于均值 μ 左右对称。
P(X ≥ μ) = 0.5
2
因为 μ = 60，P(X ≥ 60) 就是右半部分的面积 0.5。
P(X ≥ 60) = 0.5
🎯 考试要点
①用 Z = (X − μ)/σ 标准化
②在标准正态分布表中查 P(0 ≤ Z ≤ z)
③记住 68、95、99.7 法则
④a > 0 时，利用对称性改写为 P(Z ≥ a) = 0.5 − P(0 ≤ Z ≤ a)
⑤n 较大时，用正态分布近似二项分布
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