正态分布

Normal Distribution

像身高、体重这种自然界非常常见的数据，会堆成中间鼓起的钟形，这就是正态分布。平均值μ决定钟形的中心位置，标准差σ决定钟形的宽度，而中心±1σ·2σ·3σ内总是约有68·95·99.7%。不同的正态分布只要经过标准化，就能合并成平均0、标准差1的标准正态分布Z，从而彼此比较。拖动平均μ和标准差σ滑块，看钟形左右移动、变瘦或变宽，再移动z值观察面积(概率)如何变化。

钟形曲线

🔔 什么是正态分布?

①许多自然·社会现象都符合的钟形分布

②以均值 μ 为中心左右对称

③σ 越小越尖，越大越平

④总面积 = 1（概率之和）

N(μ, σ²) 曲线

均值 μ50

标准差 σ10

正态分布概率密度

f(x) = 1σ√(2π) e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}

N(μ, σ²) 的概率密度

📏 68-95-99.7 法则

①μ ± 1σ：约 68.3%

②μ ± 2σ：约 95.4%

③μ ± 3σ：约 99.7%

④σ 越大越分散

标准正态分布 Z

z 值 ×1015

标准化变换

Z = X - μσ

将 N(μ,σ²) 换为 N(0,1)

💡 标准化的核心

①任意正态都可经 Z 变换归一为 N(0,1)

②一张标准正态表覆盖所有正态概率

③P(a ≤ X ≤ b) = P(z₁ ≤ Z ≤ z₂)

二项与正态

二项分布的正态近似

B(n, p) ≈ N(np, np(1−p)) (n 足够大时)

n 大时二项接近正态

动手解题

例题 1

随机变量 X 服从正态分布 N(50, 10²)，将 X = 70 标准化求其 Z 值。

写出标准化公式。

Z = (X − m)/σ

代入 m = 50, σ = 10。

Z = (70 − 50)/10 = 2

▸ Z = 2

标准化是减去均值再除以标准差，化为 N(0, 1)。

例题 2

随机变量 X 服从 N(50, 10²)，求 P(50 ≤ X ≤ 70)。(已知 P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0.4772)

标准化：X = 50 得 Z = 0，X = 70 得 Z = 2。

P(50 ≤ X ≤ 70) = P(0 ≤ Z ≤ 2)

读取标准正态分布表的值。

= 0.4772

▸ 0.4772

正态分布概率先标准化，再读标准正态分布表(面积)。

总结

正态分布核心

Z = X-μσ, X ∼ N(μ, σ²)

正态分布与标准化变换

评价院模考数学(概率与统计) 题型

随机变量 X 服从正态分布 N(60, 8²)，P(X ≥ 60) 的值为?

①0.1587

②0.3413

③0.5

④0.6587

⑤0.8413

▸ ③ 0.5

正态分布关于均值 m 左右对称。

P(X ≥ m) = 0.5

因 m = 60，故为 0.5。

P(X ≥ 60) = 0.5

🎯 考试要点

①Z = (X−μ)/σ 标准化

②由 Z 表读 P(0≤Z≤z)

③68-95-99.7 法则

④P(Z≥a) = 0.5 − P(0≤Z≤a)

⑤二项 → n 大时用正态近似