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高中二~高中三年级 (16-18岁)

概率统计 概率分布

像掷骰子得到的点数那样，把试验的结果用数表示出来，就是随机变量。 把随机变量可能取的每个值和它的概率配成对，就是概率分布；把每个值乘以概率再全部相加得到的数学期望，正是这些柱子保持水平平衡的支点位置。 各个值离期望有多分散，用方差和标准差来衡量；做 n 次独立重复试验时的成功次数服从二项分布 B(n, p)。 拖动骰子面数滑块，支点和计算式会一起变化；改变试验次数 n 和成功概率 p，二项分布的峰会移到 np 附近。

随机变量与概率分布

📊 什么是概率分布
①随机变量是给试验的每个结果对应一个数
②概率分布是把随机变量可能取的值和取这些值的概率配成对，用表或式子表示
③所有值的概率加起来总是 1

数学期望与方差

6
数学期望（均值）
E(X) = Σ xi × P(X = xi)
每个值乘以它的概率再全部相加，就是柱状图的重心
方差
V(X) = E(X2) − {E(X)}2
离期望的距离的平方按概率求的平均
标准差
σ(X) = √V(X)
方差的正平方根，用和数值相同的单位表示分散程度

二项分布 B(n, p)

6
0.5
二项分布的概率
P(X = k) = nCk pk (1-p)n-k
n 次独立重复试验中恰好成功 k 次的概率。与上一章的式子相同，这里的 k 就是那里的 r
二项分布的均值与方差
E(X) = np, V(X) = np(1−p)
B(n, p) 的期望是 np，方差是 np(1 − p)。n = 1 时 V = p(1 − p)

期望与方差的性质

期望的线性性质
E(aX + b) = aE(X) + b
把所有值乘以 a 再加上 b，期望也同样乘以 a 再加上 b
方差的性质
V(aX + b) = a²V(X)
所有值都加上 b 只是一起平移，分散程度不变；乘以 a 时距离变成 a 倍，所以方差变成 a² 倍

例题

例题 1
随机变量 X 的分布为 P(X = 0) = 1/4，P(X = 1) = 1/2，P(X = 2) = 1/4，求期望 E(X)。
1
把每个值乘以它的概率，再全部相加。
E(X) = Σ x · P(X = x)
2
代入数值计算。
= 0·(1/4) + 1·(1/2) + 2·(1/4) = 1
▸ E(X) = 1
分布关于 1 左右对称，所以不用计算也能看出期望是 1。
例题 2
对上面的随机变量 X，求方差 V(X)。已知 E(X) = 1。
1
因为 V(X) = E(X²) − {E(X)}²，先求 E(X²)。
E(X²) = 0²·(1/4) + 1²·(1/2) + 2²·(1/4) = 3/2
2
代入求出的值。
V(X) = 3/2 − 1² = 1/2
▸ V(X) = 1/2
E(X²) 是先把值平方，再乘以概率相加，不要和 {E(X)}² 混淆。

小结

概率分布要点
P(X=k) = nCk pk(1-p)n-k, E(X)=np
二项分布的概率与期望
评价院模考数学（概率与统计）类题
对随机变量 X，若 E(X) = 3，则 E(2X + 1) 的值是多少？
①5
②6
③7
④8
⑤9
▸ ③ 7
1
利用期望的线性性质。
E(aX + b) = aE(X) + b
2
代入 E(X) = 3。
= 2·3 + 1 = 7
🎯 考试要点
①概率分布中所有概率之和为 1
②E(X) = Σ x P(X = x)，V(X) = E(X²) − {E(X)}²
③B(n, p) 的期望是 np，方差是 np(1 − p)
④E(aX + b) = aE(X) + b
⑤V(aX + b) = a²V(X)，b 不影响方差
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