概率分布

Probability Distribution

就像掷骰子掷出的点数一样，把实验结果换成数字的就是随机变量。把每个数字出现的概率整理成表格就成了概率分布，而这个分布的重心正是期望值。分散程度用方差和标准差来衡量，在多次独立试验中数出成功的次数，就得到二项分布B(n, p)。拖动骰子面数看期望值(重心)落在哪里，再改变试验次数n和成功概率p，观察柱状图的峰如何移动。

随机变量与概率分布

📊 什么是概率分布?

①随机变量：把实验结果对应为数值

②概率分布：将各数值出现的概率以表或函数表示

③概率表中的概率之和总为 1

期望与方差

骰子面数6

期望（均值）

E(X) = Σ x_i × P(X = x_i)

随机变量的均值（质心）

方差

V(X) = E(X²) − {E(X)}²

离散程度的平方均值

标准差

σ(X) = √V(X)

方差的正平方根

二项分布 B(n, p)

试验次数 n6

成功概率 p × 105

二项分布概率

P(X = k) = _nC_k p^k (1-p)^n-k

n 次独立试验中成功 k 次的概率

二项分布的均值与方差

E(X) = np, V(X) = np(1−p)

B(n, p)

概率分布的性质

期望的线性性

E(aX + b) = aE(X) + b

常数倍与加法直接作用

方差性质

V(aX + b) = a²V(X)

常数加法不影响方差

动手解题

例题 1

随机变量 X 的分布为 P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/4，求期望 E(X)。

期望是把每个值乘以其概率再求和。

E(X) = Σ x · P(X = x)

代入。

= 0·(1/4) + 1·(1/2) + 2·(1/4) = 1

▸ E(X) = 1

期望是按概率加权的平均值。

例题 2

对同一 X，求方差 V(X)。(E(X) = 1)

V(X) = E(X²) − {E(X)}²。先求 E(X²)。

E(X²) = 0²·(1/4) + 1²·(1/2) + 2²·(1/4) = 3/2

代入。

V(X) = 3/2 − 1² = 1/2

▸ V(X) = 1/2

方差是从 E(X²) 减去均值的平方。

总结

概率分布核心

P(X=k) = _nC_k p^k(1-p)^n-k, E(X)=np

二项分布的概率公式与期望

评价院模考数学(概率与统计) 题型

对随机变量 X，当 E(X) = 3 时，E(2X + 1) 的值为?

①5

②6

③7

④8

⑤9

▸ ③ 7

利用期望的线性性。

E(aX + b) = aE(X) + b

代入。

= 2·3 + 1 = 7

🎯 考试要点

①概率表：概率之和 = 1

②E(X) = Σx·P(x)、V(X) = E(X²) − {E(X)}²

③二项分布：B(n,p) → E = np、V = np(1−p)

④E(aX+b) = aE(X)+b

⑤V(aX+b) = a²V(X)