高中二~高中三年级 (16-18岁)

独立重复试验的概率

Independent Trials

重复同一试验

成功次数 r2

👀 用眼睛看

①独立重复试验是每次独立地重复同一试验

②n 次中成功 r 次的概率即一根柱的高度

③把各成功次数的概率汇集即得二项分布形状

独立重复试验概率公式

独立重复试验的概率

P(X=r) = C(n,r) p^r (1−p)^n-r

n 次中成功 r 次 — C(n,r) 是选取成功位置的方法数

三部分之积

C(n,r) × p^r × (1−p)^n-r

①位置选取 C(n,r) ②成功 r 次 pʳ ③失败 (n−r) 次 (1−p)ⁿ⁻ʳ

与独立事件有何不同

🔁 重复次数是关键

①独立事件是两事件同时发生 P(A∩B)=P(A)P(B)

②独立重复试验是同一试验重复 n 次结果的分布

③出现重复次数 n 与成功次数 r 即为独立重复试验

直接求一求

例题 1

投掷硬币 4 次，求正面恰好出现 2 次的概率。

1

将 n=4, p=1/2, r=2 代入公式。

C(4,2) (1/2)² (1/2)²

2

计算。

= 6 × 116 = 38

▸ 3/8

p=1/2 时 (1/2)ⁿ 为公因子，故只需看系数 C(n,r)。

例题 2

掷骰子 3 次，求 6 点恰好出现 1 次的概率。

1

n=3, p=1/6, r=1。

C(3,1) (1/6)¹ (5/6)²

2

计算。

= 3 × 16 × 2536 = 2572

▸ 25/72

勿漏掉失败概率 (1−p)=5/6 的幂。

总结

核心结论

P(X=r) = C(n,r) p^r (1−p)^n-r

n 次中成功 r 次 — 位置·成功·失败三部分之积

2020 修能数学类题改编

一发命中率为 1/3 的射击进行 5 次，恰好命中 2 次的概率为?

①40/243

②80/243

③10/243

④40/81

⑤8/81

▸ ② 80/243

1

将 n=5, p=1/3, r=2 代入公式。

C(5,2) (1/3)² (2/3)³

2

计算。

= 10 × 19 × 827 = 80243

🎯 考试要点

①P(X=r)=C(n,r)pʳ(1−p)ⁿ⁻ʳ

②C(n,r) 选取成功位置

③失败概率 (1−p) 的幂必需

④区分"恰好 r 次"与"至少 r 次"(对立事件)

⑤区分独立事件 P(A)P(B) 与独立重复试验(重复)

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