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高中二~高中三年级 (16-18岁)

概率统计 独立重复试验的概率

把硬币抛好几次，正面出现的次数每次都不一样，但每种次数的概率有明确的规律。 把成功概率为 p 的同一试验互不影响地重复 n 次，叫作独立重复试验；其中恰好成功 r 次的概率，等于选出成功位置的方法数 C(n, r)，乘以成功的概率 pʳ 和失败的概率 (1 − p)ⁿ⁻ʳ。 把这些概率按成功次数排开，就出现中间隆起的二项分布形状。 拖动成功次数 r 滑块，成功位置的一种排法和对应的柱子会一起变化，图下方会写出三部分相乘的计算过程。

重复同一试验

2
👀 怎样看这幅图
①独立重复试验是让同一试验重复进行，且每次结果都不影响下一次
②上方六个圆代表 6 次试验，涂满的是成功；r 次成功放的位置有 C(6, r) 种
③一种排法的概率是 (1/3)ʳ(2/3)⁶⁻ʳ，所以柱的高度是排法数乘以这个值
④把各个成功次数的柱子放在一起就成了二项分布的形状，这幅图中 r = 2 最高

独立重复试验的概率公式

独立重复试验的概率
P(X=r) = C(n,r) pr (1−p)n-r
n 次中恰好成功 r 次的概率。C(n, r) 是选出成功位置的方法数，下一章把同一个式子写成 ₙCₖ
三部分之积
C(n,r) × pr × (1−p)n-r
①选位置 C(n, r) ②成功 r 次 pʳ ③失败 n − r 次 (1 − p)ⁿ⁻ʳ

与相互独立事件的区别

🔁 关键在重复次数
①相互独立事件是指两个事件同时发生的概率满足 P(A ∩ B) = P(A)P(B)
②独立重复试验研究的是同一试验重复 n 次时成功次数的概率
③题目中出现重复次数 n 和成功次数 r 时，就用独立重复试验的概率

例题

例题 1
抛一枚硬币 4 次，求正面恰好出现 2 次的概率。
1
把 n = 4，p = 1/2，r = 2 代入公式。
C(4,2) (1/2)2 (1/2)2
2
把三部分相乘。
= 6 × 116 = 38
▸ 3/8
p = 1/2 时 pʳ(1 − p)ⁿ⁻ʳ 总是 (1/2)ⁿ，所以只需比较 C(n, r)。
例题 2
掷一枚骰子 3 次，求 6 点恰好出现 1 次的概率。
1
这里 n = 3，p = 1/6，r = 1。
C(3,1) (1/6)1 (5/6)2
2
把三部分相乘。
= 3 × 16 × 2536 = 2572
▸ 25/72
漏掉不出 6 点的概率 5/6 的平方，就会错算成 1/2。

小结

要点
P(X=r) = C(n,r) pr (1−p)n-r
n 次中恰好成功 r 次的概率，是位置、成功、失败三部分之积
2020 韩国高考数学类题改编
每发命中率为 1/3 的射击进行 5 次，恰好命中 2 次的概率是多少？
①40/243
②80/243
③10/243
④40/81
⑤8/81
▸ ② 80/243
1
把 n = 5，p = 1/3，r = 2 代入公式。
C(5,2) (1/3)2 (2/3)3
2
把三部分相乘。
= 10 × 19 × 827 = 80243
🎯 考试要点
①P(X = r) = C(n, r) pʳ(1 − p)ⁿ⁻ʳ
②C(n, r) 是选出成功位置的方法数
③不要漏掉失败概率 (1 − p) 的乘方
④区分“恰好 r 次”和“至少 r 次”，“至少”常常用对立事件算更快
⑤区分讨论两事件之积 P(A)P(B) 的相互独立事件，和讨论重复的独立重复试验
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