概率的意义与应用

Meaning of Probability

掷骰子之前无法知道会出现哪一点，但它出现的可能性却能用一个数精确地表示出来。概率就是把「有多可能」写成 0 到 1 之间的数，当所有结果等可能时，它等于所求结果在全部情形中所占的比例。把多个事件合并或重叠时概率如何相加相减，也都从这个想法自然得出。拖动滑块增大事件 A 的元素数，看着 P(A) 变大，再把文氏图在并事件、交事件、补事件之间切换来确认。

概率的直观

🎲 概率是什么?

①某实验中特定结果发生的可能性

②所有可能结果中所求结果的比率

③0 ≤ P(A) ≤ 1；必发生 → 1，绝不发生 → 0

样本空间与事件

事件 A 的元素数3

古典概率

P(A) = n(A)n(S) = |A||S|

基本事件等可能时（古典概率）

事件运算

文氏图0并事件

加法定理

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

并事件概率（减去一次重叠）

补集概率

P(Aᶜ) = 1 − P(A)

A 不发生的概率

互斥与独立

互斥事件

A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

不能同时发生（无交集）

独立事件

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

互不影响

⚠️ 互斥 ≠ 独立

①互斥：不可同时（A∩B = ∅）

②独立：互不影响（P(A∩B) = P(A)P(B)）

③互斥反而强相关

④易混淆，务必区分!

动手解题

例题 1

掷一枚骰子时，求出现 3 的倍数点数的概率。

古典概率为(事件的情形数)/(总情形数)。3 的倍数为 3, 6 共 2 种。

P = 2/6

约分。

= 1/3

▸ 1/3

古典概率 = 事件情形数 ÷ 总情形数。

例题 2

从 1 到 10 的自然数中取一个，求其为 2 的倍数或 3 的倍数的概率。

用加法定理求并事件概率。2 的倍数 5 个，3 的倍数 3 个，6 的倍数 1 个。

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

代入。

= 5/10 + 3/10 − 1/10 = 7/10

▸ 7/10

并事件用加法定理把交集减去一次。

总结

概率核心

P(A) = n(A)n(S), P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

古典概率与加法定理

高二校内考试题型

同时掷 3 枚硬币时，至少有一枚正面的概率为?

①1/2

②5/8

③3/4

④7/8

⑤1

▸ ④ 7/8

"至少一个"用对立事件(全为反面)处理。

P(至少一枚正面) = 1 − P(全为反面)

全为反面的概率为 (1/2)³。

= 1 − (1/2)³ = 1 − 1/8 = 7/8

🎯 考试要点

①P(A) = n(A)/n(S)

②加法定理：P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

③补集：P(Aᶜ) = 1 − P(A)（用于「至少」类题）

④互斥 ≠ 独立

⑤独立：P(A∩B) = P(A)P(B)