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高中二~高中三年级 (16-18岁)

概率统计 概率的意义与应用

掷骰子之前不知道会出现哪一面，但每一面出现的可能性可以用一个数准确地表示出来。 用 0 到 1 之间的数表示事件发生可能性的大小，就是概率；当所有结果出现的可能性都相同时，概率就是所求情况数在全部情况数中所占的比例。 事件合并、重叠或取反时概率怎样相加、相减，也是从同样的想法推出来的。 拖动事件 A 的元素个数滑块，围住 A 的框和 P(A) 会一起变大；用韦恩图滑块在并事件、交事件、对立事件之间切换，图下方会写出相应的公式。

概率的直观

🎲 什么是概率
①概率是用数表示某次试验中一个事件发生可能性大小的量
②所有结果出现的可能性相同时，概率就是该事件的情况数在全部情况数中所占的比例
③0 ≤ P(A) ≤ 1，必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0

样本空间与事件

3
古典概型
P(A) = n(A)n(S) = |A||S|
每个基本事件发生的可能性都相同时

事件的运算

并事件
概率的加法公式
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
并事件的概率。A 和 B 相加时重叠部分被数了两次，所以要减去一次
对立事件的概率
P(Aᶜ) = 1 − P(A)
A 不发生的概率

互斥事件与相互独立事件

互斥事件
A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
不能同时发生的两个事件。没有重叠，概率直接相加
相互独立事件
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
一个事件是否发生，不改变另一个事件的概率
⚠️ 互斥不等于独立
①互斥是指不能同时发生（A ∩ B = ∅）
②独立是指互不影响对方的概率（P(A ∩ B) = P(A)P(B)）
③概率都不为 0 的两个事件如果互斥，一个发生了另一个就不可能发生，所以反而不独立
④问“至少一个”的题目，用 1 减去对立事件“一个也没有”来解

例题

例题 1
掷一枚骰子，求出现 3 的倍数点数的概率。
1
6 种结果中，3 的倍数是 3 和 6，共 2 种。
P = 2/6
2
约分。
= 1/3
▸ 1/3
6 个基本事件的可能性都相同，所以可以用情况数之比求概率。
例题 2
从 1 到 10 的自然数中任取一个，求它是 2 的倍数或 3 的倍数的概率。
1
把 2 的倍数 5 个和 3 的倍数 3 个相加，同时是 2 和 3 的倍数的 6 的倍数（1 个）就被数了两次。
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
2
代入加法公式，减去重叠的 1 个。
= 5/10 + 3/10 − 1/10 = 7/10
▸ 7/10
答 5 + 3 = 8 就是把 6 数了两次，减去一次重叠才是 7。

小结

概率的基本公式
P(A) = n(A)n(S), P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
古典概型与概率的加法公式
高二 校内考试 题型
同时掷 3 枚硬币，至少有一枚正面朝上的概率是多少？
①1/2
②5/8
③3/4
④7/8
⑤1
▸ ④ 7/8
1
“至少一枚”要利用对立事件“全是反面”。
P(至少一枚正面) = 1 − P(全为反面)
2
全是反面的概率是 (1/2)³ = 1/8。
= 1 − (1/2)³ = 1 − 1/8 = 7/8
🎯 考试要点
①所有基本事件可能性相同时才用 P(A) = n(A)/n(S)
②加法公式 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 把重叠部分减去一次
③“至少”类问题用对立事件 P(Aᶜ) = 1 − P(A) 来解
④区分互斥与独立
⑤独立时 P(A ∩ B) = P(A)P(B)
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