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高中二~高中三年级 (16-18岁)

概率统计 条件概率

一旦知道某件事已经发生，同一个事件的概率也会改变。 条件概率 P(A|B) 是在 B 已经发生的条件下，把样本空间缩小到 B，再重新量 A 在其中所占的比例；概率的乘法公式和贝叶斯定理都由此而来。 贝叶斯定理是由结果反过来推算原因的概率，所以对于罕见的疾病，即使检查呈阳性，真正患病的概率也比想象的低。 在第一幅图中，用 A、B、A∩B 的格数滑块把 10 格的样本空间分开，再把 B 单独取出来放大；在第二幅图中，拖动患病率滑块，阳性者中真正患者的比例会随之变化。

条件改变概率

🔍 什么是条件概率
①在事件 B 已经发生的条件下事件 A 发生的概率，记作 P(A|B)
②知道了条件，样本空间就从整个 S 缩小到 B
③所以分母变成 P(B)，分子是 A 在 B 里面的部分 P(A ∩ B)

把样本空间缩小到 B

4
5
2
条件概率的定义
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
B 发生时 A 发生的概率（P(B) > 0）
概率的乘法公式
P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A)
两个事件同时发生的概率，等于一个事件的概率乘以条件概率

贝叶斯定理

1%
🏥 阳性却概率低的原因
①这种检查把 95% 的患者判为阳性，把 90% 的健康人判为阴性
②患病率为 1% 时，1000 人中 10 名患者产生 9.5 个阳性，990 名健康人产生 99 个误判的阳性
③108.5 个阳性中真正的患者只有 9.5 个，所以 P(D|+) 约为 8.8%
④可见先验概率（患病率）低时，阳性之后的概率（后验概率）也低
⑤分母 P(+) 是两条分支相加的全概率 P(+|D)P(D) + P(+|Dᶜ)P(Dᶜ)
贝叶斯定理
P(A|B) = P(B|A) × P(A)P(B)
由结果 B 反过来求原因 A 的概率

例题

例题 1
已知 P(A) = 1/2，P(A∩B) = 1/3，求条件概率 P(B|A)。
1
条件是 A，所以分母放 P(A)。
P(B|A) = P(A∩B)/P(A)
2
代入已知值计算。
= (1/3)/(1/2) = 2/3
▸ 2/3
要求的是 P(B|A)，条件是 A。把分母写成 P(B) 就错了。
例题 2
某班 30 人中戴眼镜的有 18 人，其中男生 12 人。从戴眼镜的学生中任选一人，求是男生的概率。
1
条件是戴眼镜，所以把样本空间缩小到这 18 人。
P(男|眼镜) = (戴眼镜的男生)/(戴眼镜者)
2
求 12 名男生在 18 人中所占的比例。
= 12/18 = 2/3
▸ 2/3
全班 30 人在这道题里用不上，因为条件把样本空间变成了 18 人。

小结

条件概率要点
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B), P(A|B) = P(B|A)P(A)P(B)
条件概率的定义与贝叶斯定理
教育厅学力评价类题
对于两个事件 A、B，若 P(A) = 0.4，P(B|A) = 0.5，则 P(A∩B) 的值是多少？
①0.1
②0.2
③0.3
④0.4
⑤0.5
▸ ② 0.2
1
求的是两个事件同时发生的概率，所以用乘法公式。
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
2
代入数值相乘。
= 0.4 × 0.5 = 0.2
🎯 考试要点
①P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)，作为条件的事件放在分母
②用乘法公式 P(A ∩ B) = P(B) P(A|B) 求两个事件同时发生的概率
③A 与 B 独立时 P(A|B) = P(A)
④P(A|B) 和 P(B|A) 一般不相等
⑤树状图中沿着分支相乘，通向同一结果的分支相加
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