条件概率

Conditional Probability

一旦得知某件事已经发生，同一个事件的概率也会随之改变。条件概率就是在 B 已发生的条件下，把样本空间缩小到 B，再重新看 A，由此自然引出乘法定理与贝叶斯定理。尤其贝叶斯定理让你从结果反推原因，解释了为什么在患病率很低时，即使检测阳性，真实概率仍然可能比想象的低。拖动 P(A)、P(B)、P(A∩B) 滑块，观察 P(A|B) 如何变化，再用患病率滑块揭示阳性结果的真正含义。

条件改变概率

🔍 什么是条件概率?

①给定 B 已发生时 A 的概率

②样本空间由 S 缩为 B

③戴上 B 这副「新眼镜」再看 A

P(A|B) 可视化

P(A)×104

P(B)×105

P(A∩B)×102

条件概率定义

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

B 已发生时 A 发生的概率（P(B) > 0）

概率乘法定理

P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A)

两事件同时发生的概率

贝叶斯定理

患病率（%）1%

🏥 医检悖论

①患病率 1% 时即使阳性，实际患病概率也可能较低

②阳性 → 真患病? 这正是贝叶斯

③先验低则后验也低

贝叶斯定理

P(A|B) = P(B|A) × P(A)P(B)

由结果反推原因概率

动手解题

例题 1

当 P(A) = 1/2, P(A∩B) = 1/3 时，求条件概率 P(B|A)。

写出条件概率的定义。

P(B|A) = P(A∩B)/P(A)

代入。

= (1/3)/(1/2) = 2/3

▸ 2/3

条件概率是在 A 已发生的条件下 B 的概率。

例题 2

某班 30 人中戴眼镜的有 18 人，其中男生 12 人。任取一名戴眼镜者，求其为男生的概率。

把样本空间缩小到条件(戴眼镜的 18 人)。

P(男|眼镜) = (戴眼镜的男生)/(戴眼镜者)

代入。

= 12/18 = 2/3

▸ 2/3

条件概率把样本空间缩小到给定条件来计算。

总结

核心

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B), P(A|B) = P(B|A)P(A)P(B)

条件概率定义与贝叶斯

教育厅学力评价题型

对两个事件 A, B，当 P(A) = 0.4, P(B|A) = 0.5 时，P(A∩B) 的值为?

①0.1

②0.2

③0.3

④0.4

⑤0.5

▸ ② 0.2

用概率的乘法定理。

P(A∩B) = P(A) × P(B|A)

代入。

= 0.4 × 0.5 = 0.2

🎯 考试要点

①条件概率：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

②乘法定理：P(A∩B) = P(B)·P(A|B)

③独立 ⇒ P(A|B) = P(A)

④贝叶斯：结果→原因反推

⑤用树形图分解全概率