二项式定理

Binomial Theorem

展开(a+b)ⁿ时，每一项的系数是从哪里来的呢？令人惊讶的是，这些系数全都是组合C(n, r)，正好跟帕斯卡三角形的第n行一样。所以aⁿ⁻ʳbʳ项的系数就归纳成一个通项C(n, r)，想找某个特定项的系数，只要对准指数就能立刻得到。拖动指数n滑块，看帕斯卡三角形的第n行亮起来，确认这一行正好就是展开式的系数。

系数源于组合

指数 n4

👀 用眼睛看

①展开 (a+b)ⁿ，各项系数即组合 C(n,r)

②把这些系数排列即帕斯卡三角形

③每个数是正上方两数之和 — 与组合性质相同

二项式定理

(a+b)ⁿ = ∑_r=0ⁿ C(n,r) a^n-r b^r

C(n,r) 是组合 — 从 n 个中选 b 共 r 次的方法数

通项

T_r+1 = C(n,r) a^n-r b^r

r=0,1,…,n 的第 (r+1) 项 — 用于精确定位某一项

求某项的系数

🎯 匹配指数

①使所求字母的指数匹配来确定 r

②把该 r 代入通项计算系数

③常数项即令字母指数为 0 的 r

直接求一求

例题 1

求 (x+2)⁴ 展开式中 x² 的系数。

通项为 C(4,r) x^4-r 2^r。要 x² 则 4−r=2，即 r=2。

代入 r=2 计算系数。

C(4,2)·2² = 6·4 = 24

▸ 24

以"字母指数 = 所求次数"先定 r 是关键。

例题 2

求 (2x−1)⁵ 展开式中 x³ 的系数。

通项为 C(5,r) (2x)^5-r (−1)^r。要 x³ 则 5−r=3，即 r=2。

代入 r=2。

C(5,2)·2³·(−1)² = 10·8·1 = 80

▸ 80

勿漏掉系数中常数(2, −1)的幂。

总结

核心结论

(a+b)ⁿ = ∑ C(n,r) a^n-r b^r, 通项 C(n,r) a^n-r b^r

系数即组合 C(n,r) — 用通项匹配 r 求某项

2021 修能数学类题改编

求 (x + 1/x)⁶ 展开式中的常数项。

①6

②15

③20

④30

⑤45

▸ ③ 20

通项为 C(6,r) x^6-r (1/x)^r = C(6,r) x^6-2r。

常数项指数为 0，即 6−2r=0 得 r=3。

C(6,3) = 20

🎯 考试要点

①(a+b)ⁿ 系数即组合 C(n,r)

②用通项 C(n,r)aⁿ⁻ʳbʳ 求某项

③常数项即字母指数为 0 的 r

④注意系数中常数的幂

⑤帕斯卡三角形是系数速查表