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高中二~高中三年级 (16-18岁)

概率统计 二项式定理

展开 (a + b)ⁿ，aⁿ、aⁿ⁻¹b、… 每一项前面都有系数，这个系数数的是从 n 个括号中选出 r 个取 b 的方法数，也就是组合数 C(n, r)。 所以把系数依次排开，就是杨辉三角的第 n 行，行里的每个数都等于它正上方两个数的和。 要求某一项的系数时不必全部展开，只要在通项 C(n, r) aⁿ⁻ʳbʳ 里找出让指数对上的那个 r。 拖动指数 n 滑块，三角形的第 n 行会亮起来，这一行的数也会原样变成下面展开式的系数。

系数来自组合数

4
👀 三角形与展开式
①(a + b)ⁿ 是 n 个 (a + b) 相乘，每个括号里取 a 或 b 中的一个相乘，所有这样的乘积都会出现
②取 r 个 b 的方法有 C(n, r) 种，所以 aⁿ⁻ʳbʳ 的系数是 C(n, r)
③把这些系数从 n = 0 起一行一行排列，就是杨辉三角
④像图中两条线那样，每个数等于正上方两个数的和，也就是 C(n, r) = C(n − 1, r − 1) + C(n − 1, r)

二项式定理

二项式定理
(a+b)n = ∑r=0n C(n,r) an-r br
C(n, r) 是从 n 个括号中选 r 个取 b 的方法数
通项
Tr+1 = C(n,r) an-r br
r = 0, 1, …, n 时的第 r + 1 项，用来直接求某一项的系数

求指定项的系数

🎯 先对指数
①先定 r，让这一项的指数等于要求的指数
②把这个 r 代入通项，算出系数
③常数项就是找让字母指数为 0 的 r
④a、b 的位置是 2x、−1 这类带数的式子时，这些数的乘方也要算进系数

例题

例题 1
求 (x + 2)⁴ 的展开式中 x² 的系数。
1
通项是 C(4, r) x⁴⁻ʳ 2ʳ。要得到 x²，需要 4 − r = 2，即 r = 2。
2
代入 r = 2 计算系数。
C(4,2)·22 = 6·4 = 24
▸ 24
先让字母的指数等于要求的次数来确定 r，剩下的就只是计算。
例题 2
求 (2x − 1)⁵ 的展开式中 x³ 的系数。
1
通项是 C(5, r) (2x)⁵⁻ʳ (−1)ʳ。要得到 x³，需要 5 − r = 3，即 r = 2。
2
代入 r = 2，2 的三次方和 −1 的平方也要一起乘上。
C(5,2)·23·(−1)2 = 10·8·1 = 80
▸ 80
漏掉括号里 2 和 −1 的乘方，就会错算成 10。

小结

要点
(a+b)n = ∑ C(n,r) an-r br, 通项 C(n,r) an-r br
系数就是组合数 C(n, r)；求指定项时在通项里对好 r
2021 韩国高考数学类题改编
求 (x + 1/x)⁶ 的展开式中的常数项。
①6
②15
③20
④30
⑤45
▸ ③ 20
1
通项是 C(6, r) x⁶⁻ʳ (1/x)ʳ = C(6, r) x⁶⁻²ʳ。
2
常数项中 x 的指数为 0，由 6 − 2r = 0 得 r = 3。
C(6,3) = 20
🎯 考试要点
①(a + b)ⁿ 的系数是组合数 C(n, r)
②求指定项时，在通项 C(n, r) aⁿ⁻ʳbʳ 中对好指数来确定 r
③常数项对应字母指数为 0 的那个 r
④括号里常数的乘方和符号也要算进系数
⑤杨辉三角是快速读出较小 n 的系数的表
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