排列是连选出的东西按什么顺序摆放都要区分的选法。
即使选的是同样三个人，只要谁站第一、第二、第三变了，就算不同的情况。
所以第一个位置有 n 种选法，下一个位置少一个，剩 n − 1 种，这样一直乘到第 r 个位置，就是 ₙPᵣ。
拖动上面的 n、r 滑块，每个位置剩下的选法和它们的乘积马上就能看到；拖动圆桌滑块，可以数出转一转就相同的圆排列的个数。
有顺序的选取
即使选的是同样几个人，一旦给位置排上名次，情况就会变多。排列是连位置的顺序也区分开来数出的个数，ₙPᵣ 是从 n 个中由前往后填满 r 个位置时，把每个位置剩下的个数相乘得到的值。第一个位置有 n 个，下一个有 n − 1 个，一个个减少直到第 r 个位置，这个乘积等于 n! ÷ (n − r)!。全部排成一列时 r = n，结果是 n!；如果有相同的东西混在里面，就要除以那些分辨不出的交换。圆桌上大家都挪一个座位还是同一种坐法，所以把 n 种旋转看作一种，得到 (n − 1)!。规定 0! = 1，也是为了让这个公式在 r = n 时照样成立。
🎯 什么是排列
①从 n 个不同元素中取出 r 个并按顺序排成一列，方法数记作 ₙPᵣ
②就像选第一、二、三名那样，谁站在哪个位置会改变结果
③即使是同样三个人，排列顺序不同就是不同的情况
④不计顺序的组合放在下一章讲
按位置来数
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从 n 个中取 r 个、从第 1 位起依次填入时，每个位置剩下的选法
上方放着 n 个带编号的球，只有前 r 个涂了颜色。下方从第 1 位到第 r 位排成一行格子，每个格子写着这个位置还能选的个数 n、n − 1、…。虚线把上方的球和下方的格子连起来，最下面一行把 ₙPᵣ 写成这些数的乘积。n 从 2 到 8，r 从 1 到 n 变化，初始值是 n = 5，r = 3。圆桌图中按人数摆放彩色球围成一圈，座位固定的 1 号球带有“固定”标记。图下方写着把一列的个数 n! 除以旋转数 n 得到 (n − 1)! 的计算，圆桌人数从 3 到 7，初始值是 4。
💡 乘法原理
①第一个位置有 n 种选法
②第二个位置已用掉一个，剩 n − 1 种
③这样每个位置少一个，第 r 个位置剩 n − r + 1 种
④全部相乘得 n × (n − 1) × … × (n − r + 1)
排列数
nPr = n!(n-r)!
从 n 个中取 r 个按顺序排列的方法数
特殊的排列
把 n 个人坐圆桌的方法数写成一列的 n!，就会把每挪一个座位的同一种坐法当作不同情况各数 n 次。要把旋转后重合的坐法归为一种，就得固定一个人，只排其余 n − 1 个人，结果是 (n − 1)!。排队的问题如果用不计顺序的组合，前后交换的队列就被漏掉，结果偏小。必须相邻的两个人，先捆成一组来排，再乘上组内两人交换位置的 2!。含有相同元素的排列如果漏掉分母，就会把分辨不出的交换当作不同情况来数。