概率统计 排列
排列是连顺序也要区分的选法。
即使选出同样的三个人，把他们放在第一、第二、第三哪个位置不同，就算作不同的情况，这正是关键。
所以第一个位置有n种，下一个减少一个变成(n-1)种，选择逐个减少，把它们相乘r次就得到nPr。
改上方的 n 和 r，每个位置选择减少、nPr 的值会对上；再改圆桌，旋转后就相同的圆排列会对上。
有序选取
人选相同，一给座位编号，情形就会变多。 排列就是连座位顺序也分开来数的名称，符号 nPr 是从 n 个里从前到后填 r 个座位时，把剩下的个数乘起来的值。 第一位有 n 种，下一位 n − 1 种，一直乘到第 r 位，这个积等于 n! / (n − r)!。 圆桌上整桌转过仍是同一坐法，所以把 n 种旋转算成一种，得到 (n − 1)!。 全部排成一列就是 r = n，等于 n!；若有相同的东西混在一起，再用那些重复的阶乘去除全部。 0! = 1，因为这些公式把空乘积当作 1。
🎯 什么是排列?
①从 n 个不同的中取 r 个并「按顺序」排列的方法数
②如取 1 名、2 名、3 名，谁排在哪重要
③同 3 人但顺序不同视为不同情况
④组合（不计顺序）在下一章
nPr 可视化
seegongsik.com
从 n 个中按顺序排列 r 个的过程上图放着带编号的 n 个球，只有前 r 个涂了颜色。 下面是从第 1 个起的 r 个格子，每格写着剩余选择数 n、n − 1、……。 虚线连着上面的球和下面的格，最底下把 nPr 展开成那个乘积。 n 从 2 到 8，r 从 1 到 n，起始值是 n = 5、r = 3。 圆桌图上，按所选人数放一圈彩色球，最上面座位旁写着「固定」。 下面的式子给出 (n − 1)! 的值。圆桌人数从 3 到 7，起始值是 4。
💡 乘法法则
①第1位：n 种
②第2位：n−1 种
③至第 r 位依次减少
④结果：n × (n−1) × … × (n−r+1)
排列公式
nPr = n!(n-r)!
从 n 个中按顺序选 r 个的方法数
特殊排列
若把 n 人围坐圆桌写成一列 n!，会把转一圈仍相同的坐法当成另一种，重复计数。要把这些旋转看成同一种坐法，先固定一个人再排其余，那时的值是 (n − 1)!。排队问题里若用丢掉顺序的符号，前后对调的队伍会被减掉，数目偏小。必须相邻的两个人，先看成一块，再把块里的前后也乘进去。有重复元素的排列若漏了分母，就会把分不清的座位算成不同情形。
可重复排列
n!p! q! r!
n 中重复 p, q, r 个时。此公式只在框里。图是 nPr 与圆排列
圆排列
seegongsik.com
把 n 人安排在圆桌🔄 圆排列要点
①旋转视为同一排列
②固定 1 人后排其余
③n 人圆排列 = (n−1)!
④旋转 n 种算作同一排列，故 n!/n = (n−1)!
⑤0! = 1
动手解题
例题 1
求从 5 个不同元素中取 2 个排成一列的方法数 ₅P₂。
1排列从最大数起逐一减小，乘以所取个数那么多个因数。
₅P₂ = 5 × 4
▸ 20
排列是区分顺序的排列方法数。
例题 2
5 人排成一列时，使特定 2 人相邻的方法数为多少?
1把相邻 2 人看作一个整体，则排 4 个(4!)。
整体排列 4! × 内部顺序 2!
▸ 48
相邻条件先捆绑排列，再乘以内部顺序。
总结
排列核心公式
nPr = n!(n-r)! = n(n-1)(n-2)···(n-r+1)
有序选取的方法数
教育厅 学力评价 题型
从 5 个数字 1, 2, 3, 4, 5 中取不同的 3 个所能组成的三位自然数的个数为?
▸ ④ 60
1从 5 个不同数字取 3 个排列，即 ₅P₃。
₅P₃ = 5 × 4 × 3
🎯 考试要点
①排列计顺序；组合不计
②P(n,n) = n!
③圆排列 = (n−1)!
④重复排列：总! ÷ 重复!
⑤勿忘 0! = 1