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数学Ⅱ
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积分
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定积分的应用
Applications of Definite Integrals
两曲线间的面积
📐 两曲线面积要点
①f(x), g(x) 间面积 = ∫|f(x) − g(x)| dx
②上函数 − 下函数后积分
③先求交点确定积分区间!
下限 a
-1.5
上限 b
1.5
用定积分计算 f(x) 与 g(x) 间阴影面积
两曲线间面积
S = ∫
a
b
|f(x) − g(x)| dx
上 − 下后积分（注意绝对值）
面积计算策略
与 x 轴间面积
S = ∫
a
b
|f(x)| dx
若有低于 x 轴部分需分段
与 y 轴间面积（x = g(y)）
S = ∫
c
d
|g(y)| dy
互换 x、y 后对 y 积分有时更便
💡 计算步骤
①求交点：f(x) = g(x) 或 f(x) = 0
②判断上下关系
③在切换处分段
④分段积分后求和
旋转体体积
上限 b
2
y = √x 绕 x 轴旋转 — 圆盘法
绕 x 轴体积（圆盘法）
V = π ∫
a
b
[f(x)]² dx
截面为圆，半径 = f(x)，面积 = π[f(x)]²
绕 y 轴体积
V = π ∫
c
d
[g(y)]² dy
绕 y 轴时令 x = g(y) 对 y 积分
🔑 旋转体体积要点
①先确定绕哪个轴
②x 轴：半径 = |f(x)|，对 x 积分
③y 轴：半径 = |g(y)|，对 y 积分
速度与距离
时刻 t
2 s
速度-时间图象下的面积 = 行驶距离
行驶距离
距离 = ∫
a
b
|v(t)| dt
速度的绝对值积分即实际距离
💡 位移 vs 距离
①位移 = ∫v(t)dt（带符号）
②距离 = ∫|v(t)|dt（恒非负）
③v(t) ≥ 0 区间内位移 = 距离
总结
两曲线间面积
∫|f − g| dx
依交点分段
旋转体体积
π∫[f(x)]² dx
圆盘法
🎯 考试要点
①面积：交点 → 上下关系 → 分段积分 → 求和
②绝对值：分 x 轴上下计算
③旋转体：明确轴与半径
④速度 → 距离：∫|v(t)|dt；位移：∫v(t)dt
⑤对 y 积分有时更简便
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