定积分不只是用来求曲线下方面积的工具。
用“细分再求和”这同一个想法，就能求两条曲线之间的面积、旋转体的体积，以及由速度图像求出的路程。
这些问题看起来不同，但都是先确定一个小薄片的量，再用定积分把它们累加起来。
在第一幅图中移动 a 和 b 观察两曲线间的面积，在第二幅图中改变 b 观察旋转体的体积，在第三幅图中观察到时刻 t 为止走过的路程。
两条曲线之间的面积
📐 求两曲线间面积的要领
①f(x) 与 g(x) 之间的面积是 |f(x) − g(x)| 的积分
②用上方的函数减去下方的函数
③先求交点，确定积分区间
④在图中把 b 移过1.56，两图像的上下位置会互换，这时面积仍按差的绝对值累加
-1.5
1.5
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f(x) = −x² + 4（绿）与 g(x) = x（蓝）之间、从 a 到 b 涂色区域的面积
两曲线间面积
S = ∫ab |f(x) − g(x)| dx
用上方函数减去下方函数再积分；上下互换时要用绝对值
求面积的步骤
曲线与 x 轴之间的面积
S = ∫ab |f(x)| dx
曲线有部分在 x 轴下方时，要分区间计算
曲线与 y 轴之间的面积（x = g(y)）
S = ∫cd |g(y)| dy
交换 x 与 y 的角色、对 y 积分更方便时使用
💡 求面积的顺序
①求交点：f(x) = g(x) 或 f(x) = 0
②判断哪个函数在上方
③在上下关系改变的点处分区间
④各区间分别积分再相加
旋转体的体积
2
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把 y = √x 从0到 b 的部分绕 x 轴旋转得到的立体；在 x 处的截面是半径为 √x 的圆盘
绕 x 轴旋转的旋转体体积
V = π ∫ab [f(x)]² dx
截面是半径为 f(x) 的圆，截面面积是 π[f(x)]²
绕 y 轴旋转的旋转体体积
V = π ∫cd [g(y)]² dy
绕 y 轴旋转时，写成 x = g(y)，对 y 积分
🔑 求旋转体体积的要领
①先确认绕哪条轴旋转
②绕 x 轴：半径是 |f(x)|，对 x 积分
③绕 y 轴：半径是 |g(y)|，对 y 积分
④旋转体的体积以后会详细学习，这里只是初步认识
速度与路程
2 s
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速度 v(t) = 3t 的图像下方从0到 t 的面积，就是这段时间内走过的路程
路程
距离 = ∫ab |v(t)| dt
对速度的绝对值积分，得到实际走过的路程
💡 位置的变化与路程
①位置的变化量是直接对 v(t) 积分，反方向走的部分会被减去
②路程是对 |v(t)| 积分，所以总不小于0
③在 v(t) ≥ 0 的区间上两者相等
总结
两曲线之间的面积
∫|f − g| dx
在交点处分区间
旋转体的体积
π∫[f(x)]² dx
对圆盘截面的面积积分
🎯 考试要点
①面积问题：交点 → 上下关系 → 分区间积分 → 相加
②绝对值按 x 轴上方与下方分区间处理
③旋转体：先确定绕哪条轴、半径是什么
④路程是 |v(t)| 的积分，位置的变化量是 v(t) 的积分
⑤改写成 x = g(y) 对 y 积分，常常更简单
例题与真题
例题 1
求由曲线 y = x² 与直线 y = x 所围部分的面积。
1
由 x² = x 得交点 x = 0、1，在两者之间直线 y = x 在曲线 y = x² 的上方。