定积分的应用

Applications of Definite Integrals

定积分并不只是一个用来求面积的工具而已。仅凭切细再相加这同一个思路，就能求出两条曲线之间的面积、旋转体的体积，甚至从速度图象求出行驶的距离。那些表面上看起来完全不同的问题，最终都归结到同一个定积分上，而这正是本单元的核心。拖动下限 a 与上限 b 两个滑块，观察两条曲线之间被填色的区域以及它的面积值会怎样变化。

两曲线间的面积

📐 两曲线面积要点

①f(x), g(x) 间面积 = ∫|f(x) − g(x)| dx

②上函数 − 下函数后积分

③先求交点确定积分区间!

下限 a-1.5

上限 b1.5

两曲线间面积

S = ∫_a^b |f(x) − g(x)| dx

上 − 下后积分（注意绝对值）

面积计算策略

与 x 轴间面积

S = ∫_a^b |f(x)| dx

若有低于 x 轴部分需分段

与 y 轴间面积（x = g(y)）

S = ∫_c^d |g(y)| dy

互换 x、y 后对 y 积分有时更便

💡 计算步骤

①求交点：f(x) = g(x) 或 f(x) = 0

②判断上下关系

③在切换处分段

④分段积分后求和

旋转体体积

上限 b2

绕 x 轴体积（圆盘法）

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx

截面为圆，半径 = f(x)，面积 = π[f(x)]²

绕 y 轴体积

V = π ∫_c^d [g(y)]² dy

绕 y 轴时令 x = g(y) 对 y 积分

🔑 旋转体体积要点

①先确定绕哪个轴

②x 轴：半径 = |f(x)|，对 x 积分

③y 轴：半径 = |g(y)|，对 y 积分

速度与距离

时刻 t2 s

行驶距离

距离 = ∫_a^b |v(t)| dt

速度的绝对值积分即实际距离

💡 位移 vs 距离

①位移 = ∫v(t)dt（带符号）

②距离 = ∫|v(t)|dt（恒非负）

③v(t) ≥ 0 区间内位移 = 距离

总结

两曲线间面积

∫|f − g| dx

依交点分段

旋转体体积

π∫[f(x)]² dx

圆盘法

🎯 考试要点

①面积：交点 → 上下关系 → 分段积分 → 求和

②绝对值：分 x 轴上下计算

③旋转体：明确轴与半径

④速度 → 距离：∫|v(t)|dt；位移：∫v(t)dt

⑤对 y 积分有时更简便

例题与真题

例题 1

求由曲线 y = x² 与直线 y = x 所围部分的面积。

求交点(x = 0, 1)，在 0 ≤ x ≤ 1 上用上方函数(x)减下方函数(x²)。

S = ∫₀¹ (x - x²) dx

积分计算。

[x²2 - x³3]₀¹ = 12 - 13 = 16

▸ 1/6

两曲线间面积是在交点之间对(上方函数 − 下方函数)积分。

例题 2

求曲线 y = √x (0 ≤ x ≤ 4)绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。

用圆盘法 V = π∫_a^b [f(x)]² dx。[√x]² = x。

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx

积分计算。

π [x²2]₀⁴ = π × 8 = 8π

▸ 8π

绕 x 轴旋转体的体积是对截面圆面积 π[f(x)]² 积分。

2023 修能数学类题改编

由 y = x²、x 轴和直线 x = 2 所围部分的面积是？

①8/3

②4

③2

④8

⑤4/3

▸ ① 8/3

x 轴与曲线间的面积是 S = ∫₀² x² dx。

S = ∫₀² x² dx

积分计算。

[x³3]₀² = 83

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定积分

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