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高中二~高中三年级 (16-18岁)

高中数学 定积分

曲线下方的面积，没有像长方形、三角形那样一步算出的公式。 于是用细长的长方形填满这块区域来估计面积，再把长方形分得越来越细。 长方形越细，估计值就越接近真实面积，这个极限就是定积分。只要知道原函数 F，这个极限就能用 F(b) − F(a) 算出来。 在第一幅图中增大分割数 n，长方形面积之和会接近准确值 b³/3；第二幅图则显示 x 轴下方的部分在定积分中被减去。

把面积切成细长方形

📐 定积分的思想
①用许多细长方形拼起来估计曲线下方的面积
②把长方形分得越来越细（n → ∞），估计值就接近真实面积
③这个极限值就是定积分

从长方形之和到定积分

5 个
2
定积分的定义
∫ab f(x) dx = limn→∞ Σk=1n f(xk) Δx
宽为 Δx = (b − a)/n 的长方形面积之和的极限，就是曲线下方的面积
🔑 图中要看什么
①n 较小时长方形较宽，与曲线偏差较大
②n 增大到20以上，长方形几乎正好填满曲线下方
③n 无限增大时，长方形面积之和趋近于准确值 b³/3
④用每个小区间中点的高度，多出的部分和缺少的部分相互抵消，误差减小得很快

微积分基本定理

基本定理
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a) （F'(x) = f(x)）
知道原函数，就不必计算长方形之和，可以直接求出定积分
💡 基本定理的作用
①直接计算长方形之和的极限非常麻烦
②由基本定理，找出满足 F'(x) = f(x) 的 F，计算 F(b) − F(a) 即可
③这说明处理斜率的微分与处理面积的积分互为逆运算
④从 a 到 c 与从 c 到 b 的定积分相加，等于从 a 到 b 的定积分
⑤图像关于 y 轴对称时，从 −a 到 a 的定积分是从0到 a 的两倍；关于原点对称时为0
计算示例
∫02 x² dx = [x³3]02 = 83 - 0 = 83
求出 F(x) = x³/3 后计算 F(2) − F(0)，与第一幅图中 b = 2 时的准确值相同

定积分与面积的正负

1.5
面积与定积分
面积 S = ∫ab |f(x)| dx （绝对值!）
定积分是带符号的值，真实面积要对 |f(x)| 积分求得
⚠ 注意事项
①x 轴下方的部分以负值计入定积分，所以定积分的值可能与面积不同
②在图中令 b = 2，上下两部分面积相等，定积分为0，但面积不为0
③求真实面积时，要在图像与 x 轴的交点处把区间分开，再把各部分的绝对值相加

总结

定积分核心
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)
微积分基本定理
🎯 考试要点
①定积分是带符号的面积，可能与面积不同
②基本定理：原函数之差 F(b) − F(a)
③把区间分开再相加，值不变
④图像关于 y 轴对称的函数，从 −a 到 a 的定积分是从0到 a 的两倍
⑤图像关于原点对称的函数，从 −a 到 a 的定积分为0

例题与真题

例题 1
求 ∫02 3x² dx。
1
取导数为 3x² 的函数 F(x) = x³。
∫ 3x2 dx = x3
2
由微积分基本定理，计算 F(2) − F(0)。
[x3]02 = 23 - 03 = 8
▸ 8
原函数中的常数 C 在 F(b) − F(a) 中会抵消，所以计算定积分时可以不写 C。
例题 2
求 ∫13 (2x − 1) dx。
1
取导数为 2x − 1 的函数 F(x) = x² − x。
∫ (2x - 1) dx = x2 - x
2
计算 F(3) − F(1)。
[x2 - x]13 = (9 - 3) - (1 - 1) = 6
▸ 6
y = 2x − 1 下方是一个在 x = 1 处高为1、在 x = 3 处高为5的梯形，所以用 (1 + 5) × 2 ÷ 2 = 6 也能验证。
2022 评价院模考数学类题改编
∫01 (3x² + 2) dx 的值是？
①3
②1
③5
④2
⑤4
▸ ① 3
1
取导数为 3x² + 2 的函数 F(x) = x³ + 2x。
∫ (3x2 + 2) dx = x3 + 2x
2
计算 F(1) − F(0)。
[x3 + 2x]01 = (1 + 2) - 0 = 3
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