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数学Ⅱ
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积分
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定积分
Definite Integral
把面积切分为矩形
📐 定积分核心思想
①欲求曲线下面积 → 用矩形填充
②矩形越细越准（n → ∞）→ 收敛于精确面积
③此极限即定积分
从黎曼和到定积分
分割数 n
5 个
上限 b
2
当 n 增大，黎曼和收敛于定积分 — 观察误差变化
定积分的定义
∫
a
b
f(x) dx = lim
n→∞
Σ
k=1
n
f(x
k
) Δx
区分求积法的极限 = 曲线下的面积
🔑 观察要点
①n = 2~5：矩形大、误差大
②n = 20~50：矩形几近填满曲线
③n → ∞：黎曼和 → 定积分（精确面积）
微积分基本定理
基本定理
∫
a
b
f(x) dx = F(b) - F(a) （F'(x) = f(x)）
已知原函数即可直接计算定积分
💡 基本定理的力量
①直接求黎曼极限十分繁琐
②利用基本定理：找 F(x)、计算 F(b) − F(a) 即可
③微分（斜率）与积分（面积）互为逆运算
计算示例
∫
0
2
x² dx = [
x³
3
]
0
2
=
8
3
- 0 =
8
3
求 F(x) = x³/3 后计算 F(2) − F(0)
定积分与面积的符号
上限 b
1.5
x 轴上方面积为正、下方为负 — 带符号面积
面积与定积分的关系
面积 S = ∫
a
b
|f(x)| dx （绝对值!）
定积分带符号；实际面积须积 |f(x)|
⚠ 注意事项
①定积分值 ≠ 面积（x 轴下方计为负）
②求实际面积须积 |f(x)|
③将区间按正负分段计算
总结
定积分核心
∫
a
b
f(x) dx = F(b) - F(a)
微积分基本定理
🎯 考试要点
①定积分 = 带符号面积 — 与面积不同!
②基本定理：F(b) − F(a)
③区间可加：∫_a^c + ∫_c^b = ∫_a^b
④偶函数：∫_{-a}^{a} f(x) dx = 2∫_0^a f(x) dx
⑤奇函数：∫_{-a}^{a} f(x) dx = 0
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