定积分

Definite Integral

曲线下方的面积并没有可以直接套用的现成公式，那我们到底该怎么把它求出来呢？基本思路是先用一根根细长的矩形把这块区域铺满，以此估算面积，然后再把矩形切得越来越细。矩形越细，估算出来的值就越接近真正的面积，而这个极限过程的结果正是定积分。把分割数 n 的滑块往大调，观察黎曼和如何一步步收敛到定积分的精确值，而误差又如何趋近于 0。

把面积切分为矩形

📐 定积分核心思想

①欲求曲线下面积 → 用矩形填充

②矩形越细越准（n → ∞）→ 收敛于精确面积

③此极限即定积分

从黎曼和到定积分

分割数 n5 个

上限 b2

定积分的定义

∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σ_k=1ⁿ f(x_k) Δx

区分求积法的极限 = 曲线下的面积

🔑 观察要点

①n = 2~5：矩形大、误差大

②n = 20~50：矩形几近填满曲线

③n → ∞：黎曼和 → 定积分（精确面积）

微积分基本定理

基本定理

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) （F'(x) = f(x)）

已知原函数即可直接计算定积分

💡 基本定理的力量

①直接求黎曼极限十分繁琐

②利用基本定理：找 F(x)、计算 F(b) − F(a) 即可

③微分（斜率）与积分（面积）互为逆运算

计算示例

∫₀² x² dx = [x³3]₀² = 83 - 0 = 83

求 F(x) = x³/3 后计算 F(2) − F(0)

定积分与面积的符号

上限 b1.5

面积与定积分的关系

面积 S = ∫_a^b |f(x)| dx （绝对值!）

定积分带符号；实际面积须积 |f(x)|

⚠ 注意事项

①定积分值 ≠ 面积（x 轴下方计为负）

②求实际面积须积 |f(x)|

③将区间按正负分段计算

总结

定积分核心

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

微积分基本定理

🎯 考试要点

①定积分 = 带符号面积 — 与面积不同!

②基本定理：F(b) − F(a)

③区间可加：∫_a^c + ∫_c^b = ∫_a^b

④偶函数：∫_{-a}^{a} f(x) dx = 2∫_0^a f(x) dx

⑤奇函数：∫_{-a}^{a} f(x) dx = 0

例题与真题

例题 1

求 ∫₀² 3x² dx。

求原函数 F(x) = x³。

∫ 3x² dx = x³

由基本定理计算 F(2) − F(0)。

[x³]₀² = 2³ - 0³ = 8

▸ 8

定积分用原函数按 F(b) − F(a) 计算(微积分基本定理)。

例题 2

求 ∫₁³ (2x − 1) dx。

求原函数 F(x) = x² − x。

∫ (2x - 1) dx = x² - x

计算 F(3) − F(1)。

[x² - x]₁³ = (9 - 3) - (1 - 1) = 6

▸ 6

用上限的值减去下限的值即得定积分。

2022 评价院模考数学类题改编

∫₀¹ (3x² + 2) dx 的值是？

①3

②1

③5

④2

⑤4

▸ ① 3

求原函数 F(x) = x³ + 2x。

∫ (3x² + 2) dx = x³ + 2x

计算 F(1) − F(0)。

[x³ + 2x]₀¹ = (1 + 2) - 0 = 3