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高中二~高中三年级 (16-18岁)

概率统计 组合

组合是不考虑顺序、只看选了哪些的选取方式。 排列在选出 A、B、C 之后还要数排列的顺序，同样的三个元素会被当作 3! = 6 种不同情况来数，所以把排列数除以 r! 就得到组合数。 把这些值一行一行堆起来，就得到上面两个数之和等于下面那个数的杨辉三角，从它左右对称的样子也能直接读出 ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ。 拖动总数 n 和选取个数 r 的滑块，可以看到选出的球的多种顺序合成一个组合的过程和对应的数目；拖动行数滑块，三角形会往下延伸。

不计顺序的选取

🧩 什么是组合
①从 n 个不同元素中不考虑顺序地取出 r 个，叫作组合，组合的个数记作 ₙCᵣ
②选 A、B、C 和选 C、A、B 是同一个组合
③选两名代表是组合，选正副班长时两个职位不同，是排列

从排列到组合

5
3
组合数
nCr = n!r!(n-r)! = nPrr!
从 n 个中不计顺序取 r 个的方法数
💡 为什么要除以 r!
①排列数 ₙPᵣ 连选出后的排列顺序也一起数
②选出的 r 个有 r! 种排法，所以一个组合在排列中被数了 r! 次
③因此 ₙPᵣ = ₙCᵣ × r!，即 ₙCᵣ = ₙPᵣ ÷ r!
④图中选出的球的所有顺序都归到括号里的同一组

杨辉三角

6
杨辉三角的性质
nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr
上一行相邻两个数的和等于它们之间下方的数

组合数的性质

对称性
nCr = nCn-r
选出 r 个，等于选出要留下的 n − r 个
组合数之和
nC0 + nC1 + ··· + nCn = 2n
n 元集合的子集个数。每个元素都有放入或不放入两种选择，所以是 2ⁿ

例题

例题 1
求从 6 个不同元素中取 2 个的方法数 ₆C₂。
1
用 ₆P₂ 除以 2!。
₆C₂ = (6 × 5)/(2 × 1)
2
分别计算分子和分母。
= 30/2 = 15
▸ 15
6 × 5 = 30 是连顺序也数进去的数，除以两个元素的 2 种排法，去掉顺序后就是 15。
例题 2
从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人，恰好有 1 名女生的选法有多少种？
1
女生 1 人有 ₃C₁ 种选法，男生 2 人有 ₄C₂ 种选法，两步同时发生，所以相乘。
₃C₁ × ₄C₂
2
分别算出组合数再相乘。
= 3 × 6 = 18
▸ 18
有条件时，先按组分别选取，再用乘法原理相乘。

小结

组合数
nCr = n!r!(n-r)!
不计顺序取 r 个的方法数
高二 校内考试 题型
从 8 人中选出 2 名代表，有多少种选法？
①16
②21
③28
④36
⑤56
▸ ③ 28
1
不区分顺序地选 2 人，所以是 ₈C₂。
₈C₂ = (8 × 7)/(2 × 1)
2
分别计算分子和分母。
= 56/2 = 28
🎯 考试要点
①区分排列和组合，要看顺序是否会改变结果
②ₙCᵣ = ₙPᵣ ÷ r!
③杨辉三角中上一行两个数之和等于下面的数
④因为 ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ，r 大于 n 的一半时换成 n − r 计算更简单
⑤从 ₙC₀ 加到 ₙCₙ，总和是 2ⁿ
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