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我的单词本
高中二~高中三年级 (16-18岁)

组合

Combination

组合是不讲顺序、只管选出来的选法。 排列区分第一、第二、第三,而组合只看谁被选中,所以把顺序上重复的r!种除掉,就得到nCr = nPr / r!。 把这些值堆成三角形,就出现上面两个相加等于下面的帕斯卡三角形,左右对称(nCr = nC(n-r))也一目了然。 拖动总数n和选取数r滑块,看被选出的东西如何不分顺序地聚成一组,再用行数滑块把三角形变大来验证规律。

不计顺序的选取
🧩 组合是什么?
①从 n 个中取 r 个,不考虑顺序
②(A, B, C) 与 (C, A, B) 视为同一组合
③将排列除以 r! 即得组合
nCr 可视化
5
3
组合公式
nCr = n!r!(n-r)! = nPrr!
从 n 个中无序选 r 个的方法数
💡 排列 → 组合
①排列 (nPr) = 选 + 排
②组合 (nCr) = 仅选
③nPr = nCr × r! → nCr = nPr ÷ r!
④去除排列的顺序重复即组合
帕斯卡三角
6
帕斯卡恒等式
nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr
上方两数之和 = 下方中央
组合的性质
对称性
nCr = nCn-r
取 r = 剩下 (n−r)
组合之和
nC0 + nC1 + ··· + nCn = 2n
n 元素的所有子集个数
动手解题
例题 1
求从 6 个不同元素中取 2 个的方法数 ₆C₂。
1
组合是把排列除以所取个数的阶乘。
₆C₂ = (6 × 5)/(2 × 1)
2
计算。
= 30/2 = 15
15
组合不区分顺序,故把排列除以 r!。
例题 2
从 4 名男生与 3 名女生中选 3 人,恰好含 1 名女生的方法数为多少?
1
用 ₃C₁ 选 1 名女生,用 ₄C₂ 选 2 名男生,再相乘。
₃C₁ × ₄C₂
2
计算。
= 3 × 6 = 18
18
有条件时按组分别选取,再用乘法原理相乘。
总结
核心公式
nCr = n!r!(n-r)!
无序取 r 个的方法数
高二 校内考试 题型
从 8 人中选出 2 名代表的方法数为?
16
21
28
36
56
③ 28
1
不区分顺序选 2 人,即 ₈C₂。
₈C₂ = (8 × 7)/(2 × 1)
2
计算。
= 56/2 = 28
🎯 考试要点
①排列与组合:是否计顺序
②nCr = nPr ÷ r!
③帕斯卡:上方两数之和
④对称:nCr = nC(n−r)
⑤所有 nCk 之和 = 2^n
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二项式定理
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