数学Ⅱ›积分

不定积分

Indefinite Integral

积分是微分的逆过程

🔄 不定积分核心思想

①「微分后得到原函数的是哪个?」

②微分的逆运算：求 F'(x) = f(x) 的 F(x)

③加任意常数 C 微分都为零 → 答案有无穷多!

原函数族

积分常数 C0

不定积分定义

∫ f(x) dx = F(x) + C （F'(x) = f(x)）

表示 f(x) 全部原函数 — C 为积分常数

💡 C 的含义

①C 由初始条件决定

②例：积分 v(t) = 2t → s(t) = t² + C，C = s(0)

③漏掉 + C 会扣分!

微分与积分的逆关系

幂指数 n2

幂函数的积分

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C (n ≠ -1)

微分公式 (xⁿ)' = nx^n-1 的逆

基本积分公式

常数倍·和·差

∫ kf(x) dx = k∫ f(x) dx, ∫ [f ± g] dx = ∫ f dx ± ∫ g dx

常数提出，和差分项

常数

∫ k dx = kx + C

一次

∫ x dx = x²/2 + C

二次

∫ x² dx = x³/3 + C

n 次

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C

总结

不定积分核心

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C

微分的逆 + 积分常数 C

🎯 考试要点

①不定积分 = 微分的逆。务必 + C

②∫x^n dx 中 n ≠ -1

③多项式按项积分

④由初始条件确定 C

⑤验算：把结果求导应得回被积函数