不定积分

Indefinite Integral

不定积分要回答的问题是：把微分反过来做，会得到什么样的函数。我们要找的是求导之后能得到当前函数的那个原函数，可是常数求导后会变成零而消失，所以答案不止一个，而是有无穷多个。因此不定积分的结果后面总要加上一个积分常数 C，用来补上那个被抹掉的常数。拖动积分常数 C 滑块，观察 x² + C 这一族曲线在形状保持不变的情况下一起上下平移。

积分是微分的逆过程

🔄 不定积分核心思想

①「微分后得到原函数的是哪个?」

②微分的逆运算：求 F'(x) = f(x) 的 F(x)

③加任意常数 C 微分都为零 → 答案有无穷多!

原函数族

积分常数 C0

不定积分定义

∫ f(x) dx = F(x) + C （F'(x) = f(x)）

表示 f(x) 全部原函数 — C 为积分常数

💡 C 的含义

①C 由初始条件决定

②例：积分 v(t) = 2t → s(t) = t² + C，C = s(0)

③漏掉 + C 会扣分!

微分与积分的逆关系

幂指数 n2

幂函数的积分

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C (n ≠ -1)

微分公式 (xⁿ)' = nx^n-1 的逆

基本积分公式

常数倍·和·差

∫ kf(x) dx = k∫ f(x) dx, ∫ [f ± g] dx = ∫ f dx ± ∫ g dx

常数提出，和差分项

常数

∫ k dx = kx + C

一次

∫ x dx = x²/2 + C

二次

∫ x² dx = x³/3 + C

n 次

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C

总结

不定积分核心

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C

微分的逆 + 积分常数 C

🎯 考试要点

①不定积分 = 微分的逆。务必 + C

②∫x^n dx 中 n ≠ -1

③多项式按项积分

④由初始条件确定 C

⑤验算：把结果求导应得回被积函数

例题与真题

例题 1

求 ∫ (3x² + 2x) dx。

对各项用 ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)。

∫ 3x² dx = x³, ∫ 2x dx = x²

加上积分常数 C。

∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C

▸ x³ + x² + C

不定积分是微分的逆运算，务必加积分常数 + C。

例题 2

若 F'(x) = 2x + 1 且 F(0) = 3，求 F(x)。

F(x) = ∫ (2x + 1) dx = x² + x + C。

F(x) = x² + x + C

用 F(0) = 3 求 C。

F(0) = C = 3 ⟹ F(x) = x² + x + 3

▸ F(x) = x² + x + 3

有初始条件就能确定积分常数 C。

2023 修能数学类题改编

∫ (6x² − 4x) dx 等于？(C 为积分常数)

①2x³ − 2x² + C

②2x³ − 4x² + C

③6x³ − 4x² + C

④x³ − x² + C

⑤12x − 4 + C

▸ ① 2x³ − 2x² + C

逐项积分。∫ 6x² dx = 2x³, ∫ 4x dx = 2x²。

∫ 6x² dx = 2x³, ∫ 4x dx = 2x²

加上符号与积分常数。

2x³ - 2x² + C