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高中二~高中三年级 (16-18岁)

高中数学 不定积分

不定积分是把求导倒过来，寻找求导后等于已知函数的原来那个函数。 常数求导后变成0而消失，所以这样的原函数不是一个，而是彼此相差一个常数的无穷多个。 因此不定积分的结果后面总要加上积分常数 C，来补上消失的常数。 在第一幅图中改变 C，曲线 x² + C 形状不变，只上下移动，而在 x = 1 处切线的斜率都是2。

积分是求导的逆过程

🔄 不定积分的思想
①寻找求导后等于 f(x) 的函数 F(x)
②也就是说，满足 F'(x) = f(x) 的 F(x) 是 f(x) 的不定积分
③给 F(x) 加上任何常数，求导结果都一样，所以答案有无穷多个

不定积分是一族曲线

0
不定积分的定义
∫ f(x) dx = F(x) + C （F'(x) = f(x)）
表示 f(x) 的全体原函数，C 是积分常数
💡 积分常数 C 的意义
①C 要在给出初始值之类的条件后才能确定
②例如对速度 v(t) = 2t 积分，得位置 s(t) = t² + C，且 C = s(0)
③求不定积分时不要漏掉 + C

求导与积分互逆

2
幂函数的积分
∫ xn dx = xn+1n+1 + C (n ≠ -1)
把求导公式 (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ 倒过来用

基本积分公式

常数倍与和、差
∫ kf(x) dx = k∫ f(x) dx, ∫ [f ± g] dx = ∫ f dx ± ∫ g dx
常数倍提到积分号外面，和与差分别积分
常数
∫ k dx = kx + C
一次
∫ x dx = x²/2 + C
二次
∫ x² dx = x³/3 + C
n 次
∫ xn dx = xn+1n+1 + C (n ≠ -1)

总结

不定积分核心
∫ xn dx = xn+1n+1 + C (n ≠ -1)
把求导倒过来，再加上积分常数 C
🎯 考试要点
①不定积分是求导的逆运算，一定要加 + C
②对 xⁿ 积分，指数变成 n + 1，前面乘 1/(n + 1)
③多项式函数逐项积分后再相加
④给出初始值之类的条件，就能确定 C
⑤检验：对求出的不定积分求导，看是否得到原来的函数

例题与真题

例题 1
求 ∫ (3x² + 2x) dx。
1
对每一项使用 ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。
∫ 3x2 dx = x3, ∫ 2x dx = x2
2
最后加上积分常数 C。
∫ (3x2 + 2x) dx = x3 + x2 + C
▸ x³ + x² + C
对 x³ + x² + C 求导得 3x² + 2x，由此可以确认结果正确。
例题 2
若 F'(x) = 2x + 1 且 F(0) = 3，求 F(x)。
1
对 2x + 1 积分得 F(x) = x² + x + C。
F(x) = x2 + x + C
2
代入 F(0) = 3 确定 C。
F(0) = C = 3 ⟹ F(x) = x2 + x + 3
▸ F(x) = x² + x + 3
这相当于从一族曲线中选出经过点 (0, 3) 的那一条。一个条件确定一个常数 C。
2023 韩国高考数学类题改编
∫ (6x² − 4x) dx 等于？（C 为积分常数）
①2x³ − 2x² + C
②2x³ − 4x² + C
③6x³ − 4x² + C
④x³ − x² + C
⑤12x − 4 + C
▸ ① 2x³ − 2x² + C
1
逐项积分，6x² 变为 2x³，4x 变为 2x²。
∫ 6x2 dx = 2x3, ∫ 4x dx = 2x2
2
保留减号，再加上积分常数 C。
2x3 - 2x2 + C
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