看导数的符号，就能知道函数图像此刻是在上坡还是下坡。
斜率为正就在上升，为负就在下降，符号改变的地方就是峰顶（极大值）或谷底（极小值）。
只靠这一个道理，不仅能求出函数的最大值和最小值，还能用求导读出运动物体的速度和加速度。
在第一幅图中移动 x 的位置，切线的斜率与绿色（递增）、红色（递减）区间相互对应；在第二幅图中，每个时刻 t 的位置、速度、加速度的值会一起显示。
判断递增与递减
📈 导数的符号告诉我们什么
①在 f'(x) > 0 的区间上，f(x) 递增（上坡）
②在 f'(x) < 0 的区间上，f(x) 递减（下坡）
③使 f'(x) = 0 的点是可能取极大值或极小值的候选点
极值与单调性表
0
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f(x) = x³ − 3x 及其在所选 x 处的切线；绿色背景为递增区间，红色背景为递减区间，在分界点 x = −1、1 处取极大值与极小值
极值的判定
f'(a) = 0，且 f' 的符号由 + → − 时为极大值，由 − → + 时为极小值
列出单调性表，检查导数的符号是否改变
💡 怎样列单调性表
①解 f'(x) = 0（例：由 3x² − 3 = 0 得 x = ±1）
②在根分成的每个区间上确定 f'(x) 的符号
③在符号改变的点判定是极大还是极小
④f'(x) = 0 但符号不变时不是极值，例如 y = x³ 在 x = 0 处没有极值
最大值与最小值
闭区间上的最大值与最小值
[a, b] 上的候选：① 使 f'(x) = 0 的点 ② 两端 f(a)、f(b)
候选点的函数值中最大的是最大值，最小的是最小值
用二阶导数判定
f'(a)=0, f''(a)<0 → 极大 / f'(a)=0, f''(a)>0 → 极小
用二阶导数的符号区分极大与极小；拐点在后面关于二阶导数的章节中讲
🔑 怎样求最大值、最小值
①给定闭区间时，比较极值点、两端点和不可导点处的函数值
②在开区间上可能没有最大值或最小值
③实际中的最优化问题，先把要求的量写成函数，再求导找极值
速度与加速度
1 s
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竖直上抛物体的位置 s(t) = −t² + 4t，对它求导得到的速度 v(t)，再求导得到的加速度 a(t)；右端的数是时刻 t 的值
位置、速度、加速度的关系
v(t) = s'(t), a(t) = v'(t) = s''(t)
位置求一次导是速度，求两次导是加速度
💡 解读物体的运动
①v(t) > 0 时朝正方向运动，v(t) < 0 时朝负方向运动
②图中 t = 2 时 v = 0，此时位置 s 最大
③v(t) = 0 但符号不变时，运动方向不变
④a(t) 为常数时是匀变速运动
总结
极值的条件
f'(a) = 0 且符号改变 → 极大值或极小值
关键在于导数的符号是否改变
🎯 考试要点
①单调性表：解 f'(x) = 0，再确认各区间的符号
②f' 的符号由 + 变 − 为极大，由 − 变 + 为极小
③闭区间上的最大值、最小值，比较极值和两端点的函数值
④切线方程为 y = f'(a)(x − a) + f(a)
⑤方程与不等式问题，先用单调性表画出图像的大致形状
例题与真题
例题 1
求 f(x) = x³ − 3x 的极大值与极小值。
1
求导数，找出 f'(x) = 0 的根。
f'(x) = 3x2 - 3 = 0 ⟹ x = ±1
2
x < −1 时 f' > 0，−1 < x < 1 时 f' < 0，x > 1 时 f' > 0，所以在 x = −1 处取极大值，在 x = 1 处取极小值。