导数的应用

Applications of Derivatives

导数就像一个指南针，告诉你函数的图象此刻是在上坡还是在下坡。斜率为正就是在上升，为负就是在下降，而符号恰好翻转的那一点，就是山峰（极大）或山谷（极小）。懂了这个道理，仅凭一个导数你就能读出函数的最大值、最小值，甚至运动物体的速度与加速度。拖动 x 位置滑块，看看切线如何倾斜、绿色（递增）与红色（递减）区间如何互换。

判别增减

📈 导数符号告诉我们

①f'(x) > 0 区间 → f(x) 增（上坡）

②f'(x) < 0 区间 → f(x) 减（下坡）

③f'(x) = 0 点 → 极大或极小候选

极值与增减表

x 位置0

极值判定

f'(a) = 0 且 f' 符号 + → − 即极大，− → + 即极小

用增减表观察导数符号变化

💡 增减表作法

①求 f'(x) = 0 的根（如 3x² − 3 = 0 → x = ±1）

②各区间判 f'(x) 符号

③符号变化处判极大/极小

④f'(x) = 0 但符号不变非极值（例：x³ 在 x=0）

最大值与最小值

闭区间最值

[a, b] 候选：①f'(x)=0 点 ②端点 f(a), f(b)

比较候选中最大者为最大值、最小者为最小值

二阶导数判定法

f'(a)=0, f''(a)<0 → 极大 / f'(a)=0, f''(a)>0 → 极小

由 f'' 的符号判极大/极小

🔑 最值策略

①闭区间：比较极值 + 端点

②开区间：仅比较极值

③实际最优化：建目标函数后求导找极值

速度与加速度

时刻 t1 s

位置-速度-加速度

v(t) = s'(t), a(t) = v'(t) = s''(t)

位置 → 速度 → 加速度

💡 运动解读

①v(t) > 0：正方向运动 / v(t) < 0：负方向

②v(t) = 0：转向点（最高点）

③a(t) = 常数 → 匀加速运动（自由落体等）

总结

极值条件

f'(a) = 0 + 符号变化 → 极大/极小

导数符号变化是核心

🎯 考试要点

①增减表：求 f'(x) = 0 的根并检查各区间符号

②判定：f' 由 + → − 极大；− → + 极小

③最值：闭区间比较极值 + 端点

④切线：y = f(a) + f'(a)(x − a)

⑤先用增减表把握图象再解方程/不等式

例题与真题

例题 1

求 f(x) = x³ − 3x 的极大值与极小值。

求导函数并解 f'(x) = 0。

f'(x) = 3x² - 3 = 0 ⟹ x = ±1

判断增减：x = −1 处极大，x = 1 处极小。

极大值 f(-1) = 2, 极小值 f(1) = -2

▸ 极大值 2, 极小值 −2

在 f'(x) = 0 处，符号 +→− 为极大，−→+ 为极小。

例题 2

从原点出发的点 P 位置为 s(t) = t² − 4t，求 t = 1 时的速度 v(1)。

速度是位置的导数。v(t) = s'(t)。

v(t) = s'(t) = 2t - 4

代入 t = 1。

v(1) = 2(1) - 4 = -2

▸ v(1) = −2

位置求一次导得速度，符号表示运动方向。

2022 评价院模考数学类题改编

曲线 y = x² + 1 上点 (1, 2) 处切线的斜率是？

①2

②1

③3

④4

⑤0

▸ ① 2

切线斜率是该点的导数。y' = 2x。

y' = (x² + 1)' = 2x

代入 x = 1。

y'(1) = 2(1) = 2