数学Ⅱ›微分

导数的应用

Applications of Derivatives

判别增减
📈 导数符号告诉我们
①f'(x) > 0 区间 → f(x) 增（上坡）
②f'(x) < 0 区间 → f(x) 减（下坡）
③f'(x) = 0 点 → 极大或极小候选
极值与增减表
0
极值判定
f'(a) = 0 且 f' 符号 + → − 即极大，− → + 即极小
用增减表观察导数符号变化
💡 增减表作法
①求 f'(x) = 0 的根（如 3x² − 3 = 0 → x = ±1）
②各区间判 f'(x) 符号
③符号变化处判极大/极小
④f'(x) = 0 但符号不变非极值（例：x³ 在 x=0）
最大值与最小值
闭区间最值
[a, b] 候选：①f'(x)=0 点 ②端点 f(a), f(b)
比较候选中最大者为最大值、最小者为最小值
二阶导数判定法
f'(a)=0, f''(a)<0 → 极大 / f'(a)=0, f''(a)>0 → 极小
由 f'' 的符号判极大/极小
🔑 最值策略
①闭区间：比较极值 + 端点
②开区间：仅比较极值
③实际最优化：建目标函数后求导找极值
速度与加速度
1 s
位置-速度-加速度
v(t) = s'(t), a(t) = v'(t) = s''(t)
位置 → 速度 → 加速度
💡 运动解读
①v(t) > 0：正方向运动 / v(t) < 0：负方向
②v(t) = 0：转向点（最高点）
③a(t) = 常数 → 匀加速运动（自由落体等）
总结
极值条件
f'(a) = 0 + 符号变化 → 极大/极小
导数符号变化是核心
🎯 考试要点
①增减表：求 f'(x) = 0 的根并检查各区间符号
②判定：f' 由 + → − 极大；− → + 极小
③最值：闭区间比较极值 + 端点
④切线：y = f(a) + f'(a)(x − a)
⑤先用增减表把握图象再解方程/不等式