数学Ⅱ›函数的极限与连续

函数的连续

Continuity of Functions

连续的直观
✏ 什么是连续?
①「不抬笔即可一气呵成的图象」
②无断裂、无跳跃、无孔洞的光滑曲线
③数学上需同时满足三个条件
连续与不连续对比
连续的三条件
x = a 处连续 ⟺ ①f(a) 存在 ②limx→a f(x) 存在 ③limx→a f(x) = f(a)
任一条件不满足即不连续
🔍 不连续的种类
①跳跃：左极限 ≠ 右极限（阶梯）
②可去：极限存在但 f(a) ≠ 极限值（孔洞）
③无穷：极限本身为 ±∞（垂直渐近线）
连续函数的性质
连续函数的四则
f, g 连续则 f ± g, f · g, f/g (g ≠ 0) 均连续
连续函数加减乘除仍连续
复合函数的连续
f 在 a 连续，g 在 f(a) 连续 → g ∘ f 在 a 连续
连续函数的复合仍连续
介值定理
0.5
介值定理
f(a) < k < f(b) ⇒ ∃c ∈ (a, b), f(c) = k
连续函数必经过介值 — 用于证明方程根的存在
💡 介值定理的应用
①「若 f(a) < 0 且 f(b) > 0，则 (a, b) 中存在 c 使 f(c) = 0」
②证明方程实根存在性必备
③f 必须在 [a, b] 上连续
总结
连续的定义
limx→a f(x) = f(a)
极限值与函数值相等即连续
🎯 考试要点
①连续三条件：f(a) 存在 + 极限存在 + 二者相等
②多项式、三角、指数/对数在定义域内总连续
③判别不连续：比较左右极限
④介值定理：连续函数根的存在 →「符号变则有根」
⑤待定系数题：用连续条件（左=右=f(a)）确定常数