函数连续，意思是画它的图像时笔可以不离开纸，一笔画完。
图像中间不能断开，不能像台阶一样跳跃，也不能有洞。
严格地说，在 x = a 处函数值 f(a) 和极限值都存在且相等时，称函数在 x = a 处连续。
用第二幅图的三个按钮可以比较连续、跳跃间断和可去间断；在第四幅图中改变高度 k，就能找到介值定理保证存在的点 c。
连续的直观
✏ 什么是连续
①笔不离开纸就能画出的图像
②没有断开、没有跳跃、没有洞
③把这种感觉写成式子，就是下面的三个条件
连续与间断的比较
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在 x = a = 1 处连续的函数，以及在该处跳跃间断、可去间断的函数；空心圆是图像上没有的点，实心圆是函数值
连续的三个条件
x = a 处连续 ⟺ ①f(a) 存在 ②limx→a f(x) 存在 ③limx→a f(x) = f(a)
三个条件只要有一个不满足，函数就间断
🔍 间断的类型
①跳跃间断：左极限与右极限不相等，图像发生跳跃
②可去间断：极限存在，但 f(a) 不存在或与极限不等，出现一个洞
③无穷间断：极限趋于正无穷或负无穷，出现竖直渐近线（图中未画出）
④可去间断只要把 f(a) 重新定义为极限值，就变成连续
连续函数的性质
连续函数的四则
f, g 连续则 f ± g, f · g, f/g (g ≠ 0) 均连续
连续函数的和、差、积也连续，商在分母不为0的地方连续
复合函数的连续
f 在 a 连续，g 在 f(a) 连续 → g ∘ f 在 a 连续
连续函数复合后仍然连续
介值定理
0.5
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在 [−2, 2] 上连续的 f(x) = x³ − 3x + 1 与水平直线 y = k；对 f(a) 与 f(b) 之间的每个 k，满足 f(c) = k 的 c 用红点标出
介值定理
f(a) < k < f(b) ⇒ ∃c ∈ (a, b), f(c) = k
f 在 [a, b] 上连续时成立；即使 f(a) > f(b)，只要 k 在两值之间，结论同样成立
💡 介值定理的用法
①若 f(a) < 0 < f(b)，则 (a, b) 内至少有一个 c 使 f(c) = 0
②所以可以用它说明方程在某个区间内有实根
③f 在 [a, b] 上不连续时不能使用
④定理只说 c 存在，不说有几个；图中 k 在 −1 与3之间时会标出三个 c
总结
连续的定义
limx→a f(x) = f(a)
极限值等于函数值，函数就连续
🎯 考试要点
①连续的三个条件：f(a) 存在，极限存在，两者相等
②多项式函数在全体实数上连续，分式函数在分母不为0处连续
③判断是否间断，先比较左极限与右极限
④介值定理：连续函数的符号改变，中间就有根
⑤求待定常数时，用左极限 = 右极限 = f(a)
例题与真题
例题 1
函数 f(x) = (x² − 1)/(x − 1) (x ≠ 1), f(1) = k 在 x = 1 处连续，求常数 k。
1
要在 x = 1 处连续，极限值必须等于 f(1) = k。
x2 - 1x - 1 = x + 1 (x ≠ 1)
2
当 x ≠ 1 时约分得 x + 1，所以极限值是2。
limx→1 (x + 1) = 2 = k
▸ k = 2
原来的函数是在 x = 1 处有一个洞的直线 y = x + 1。用 k = 2 把这个洞补上，函数就连续了。