函数的连续

Continuity of Functions

函数连续，意思是你能一笔画完整条图象，而不必把笔从纸上抬起。它是一条光滑曲线，中途没有突然的断裂、没有台阶式的跳跃，也没有被挖空的孔洞。严格来说，只有当某点的极限值与函数值完全相等时，函数在该点才连续。点一点连续、跳跃、可去这三个按钮，比较一条本该光滑的图象会在哪里、以怎样的方式断开。

连续的直观

✏ 什么是连续?

①「不抬笔即可一气呵成的图象」

②无断裂、无跳跃、无孔洞的光滑曲线

③数学上需同时满足三个条件

连续与不连续对比

连续的三条件

x = a 处连续 ⟺ ①f(a) 存在 ②lim_x→a f(x) 存在 ③lim_x→a f(x) = f(a)

任一条件不满足即不连续

🔍 不连续的种类

①跳跃：左极限 ≠ 右极限（阶梯）

②可去：极限存在但 f(a) ≠ 极限值（孔洞）

③无穷：极限本身为 ±∞（垂直渐近线）

连续函数的性质

连续函数的四则

f, g 连续则 f ± g, f · g, f/g (g ≠ 0) 均连续

连续函数加减乘除仍连续

复合函数的连续

f 在 a 连续，g 在 f(a) 连续 → g ∘ f 在 a 连续

连续函数的复合仍连续

介值定理

目标值 k0.5

介值定理

f(a) < k < f(b) ⇒ ∃c ∈ (a, b), f(c) = k

连续函数必经过介值 — 用于证明方程根的存在

💡 介值定理的应用

①「若 f(a) < 0 且 f(b) > 0，则 (a, b) 中存在 c 使 f(c) = 0」

②证明方程实根存在性必备

③f 必须在 [a, b] 上连续

总结

连续的定义

lim_x→a f(x) = f(a)

极限值与函数值相等即连续

🎯 考试要点

①连续三条件：f(a) 存在 + 极限存在 + 二者相等

②多项式、三角、指数/对数在定义域内总连续

③判别不连续：比较左右极限

④介值定理：连续函数根的存在 →「符号变则有根」

⑤待定系数题：用连续条件（左=右=f(a)）确定常数

例题与真题

例题 1

函数 f(x) = (x² − 1)/(x − 1) (x ≠ 1), f(1) = k 在 x = 1 处连续，求常数 k。

在 x=1 处连续需 lim_x→1 f(x) = f(1) = k。

x² - 1x - 1 = x + 1 (x ≠ 1)

求极限并令其等于 k。

lim_x→1 (x + 1) = 2 = k

▸ k = 2

可去间断点把函数值定义为极限值即可连续。

例题 2

对 f(x) = x² − 3，说明方程 f(x) = 0 在区间 (1, 2) 内至少有一个实根。

f 是多项式，在 [1, 2] 上连续；看两端符号。

f(1) = -2 < 0, f(2) = 1 > 0

符号相异，由介值定理知存在 c ∈ (1, 2) 使 f(c) = 0。

f(1) < 0 < f(2) ⟹ f(c) = 0, c ∈ (1, 2)

▸ 区间 (1, 2) 内存在实根。

连续函数在两端变号，则其间必有根(介值定理)。

2022 评价院模考数学类题改编

函数 f(x) = { 2x + a (x ≤ 1), x² + 2 (x > 1) } 在 x = 1 处连续，求常数 a。

①1

②3

③2

④-1

⑤0

▸ ① 1

在 x=1 处连续需左极限 = 右极限 = f(1)。

左极限 = 2(1) + a = 2 + a, 右极限 = 1² + 2 = 3

令两者相等。

2 + a = 3 ⟹ a = 1