高中数学 函数的极限
极限是在问：让 x 无限接近某个值时，函数值会向哪里靠近。
x 不必真的到达那里，函数甚至可以在那一点没有定义。
即使那一点是个洞，只要从两侧靠近时的值相同，极限就确实存在。
在第一幅图中提高接近程度，左边的蓝点和右边的橙点都向有洞的 x = 1 靠近，两个点的函数值都聚向2。
什么是极限
在 x = 1 处，(x² − 1)/(x − 1) 的分母为0，算不出值。可是 x = 0.9 时是1.9，x = 1.1 时是2.1，x = 0.99 时是1.99，附近的值都聚向2。函数的极限正是这样：不进入那一点本身，只问它周围的值聚向哪里。
🎯 极限的思想
①问的是 x 无限接近 a 时，f(x) 接近什么值
②x 不必真的到达 a，只看接近过程中的值
③从左边接近时的左极限与从右边接近时的右极限相等，极限才存在
④即使 f(a) 没有定义，极限也可能存在
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在 x = 1 处有洞的 f(x) = (x² − 1)/(x − 1)；从两侧接近的两个点的函数值都聚向2第一幅图中的绿色直线与 y = x + 1 相同，但在 x = 1 处有一个红色空心圆。增大接近程度 t，蓝点从左边、橙点从右边向 x = 1 靠近，上方写出两个点的 x 和 f(x)。t = 95 % 时，两个点在 x = 0.9 和1.1处，函数值是1.9和2.1。在第二幅图中缩小 ε，橙色带变窄，为了让图像留在带内，蓝色带 δ = ε/2 也一起变窄。
💡 图中要看什么
①蓝点（左）和橙点（右）都向高度2靠近
②f(1) 无定义（空心圆），但极限值是2
③分子因式分解得 (x + 1)(x − 1)/(x − 1)，x ≠ 1 时等于 x + 1
用 ε-δ 精确表述（拓展）
看到红色空心圆，容易以为极限不存在，但空心圆只表示 x = 1 处没有函数值。两侧的点聚向同一高度2，所以极限是2。反过来，有函数值 f(a) 也不等于它就是极限值：左极限与右极限不相等时，即使 f(a) 存在，极限也不存在。另外，直接把目标值代入 0/0 型的式子会使式子失去意义，所以要先看有没有可以约去的因式。
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对 f(x) = 2x，L = 4 周围的 ε 带（橙）与 a = 2 周围的 δ 带（蓝）；缩小 ε，δ = ε/2 也随之缩小极限的定义（ε-δ）
limx→a f(x) = L
对任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得当 0 < |x − a| < δ 时，|f(x) − L| < ε
🔑 怎样理解 ε-δ
①ε 是 y 方向允许的误差宽度（橙色带）
②δ 是 x 方向的宽度：x 取在其中时，f(x) 就落在 ε 带内（蓝色带）
③无论 ε 取得多小，总能找到合适的 δ，极限就存在
④这个定义超出了高中课程的一般要求
极限的基本性质
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f(x) = x²/3（绿）与 k · f(x)（橙）；x → 3 时 f(x) 趋于3，k · f(x) 趋于 3k极限的四则运算
lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)
各极限存在时，和、差、积、商的极限可由各自的极限计算（商要求分母的极限不为0）
常数倍
lim k·f(x) = k · lim f(x)
常数可以提到极限符号外面
提前认识的重要极限
三角函数的极限
limx→0 sin xx = 1
以后学习；x 用弧度表示
指数函数的极限
limx→0 ex - 1x = 1
以后学习；e 是自然对数的底
对数函数的极限
limx→0 ln(1 + x)x = 1
以后学习；由上一式换元得到
总结
极限的定义
limx→a f(x) = L ⟺ 左极限 = 右极限 = L
两侧趋于同一个值，极限才存在
🎯 考试要点
①左极限与右极限不相等时，极限不存在
②f(a) 与极限值是不同的概念，没有 f(a) 极限也可能存在
③0/0 型先用因式分解或有理化约分，再代入
④极限的四则运算只在各极限都存在时成立
⑤商的极限中分母极限为0时，要另外讨论
例题与真题
例题 1
求 limx→2 (x² − 4)/(x − 2)。
1代入 x = 2 得 0/0，所以先把分子因式分解再约分。
x2 - 4x - 2 = (x+2)(x-2)x-2 = x + 2
2把 x = 2 代入约分后的 x + 2。
limx→2 (x + 2) = 4
▸ 4
约分只在 x ≠ 2 时才能进行，但极限只看 x = 2 附近的值、不看 x = 2 本身，所以没有问题。
例题 2
求 limx→0 (sin 3x)/x。
1要用 sin x / x → 1，分母必须与 sin 里的 3x 一致。
sin 3xx = 3 × sin 3x3x
2x → 0 时 3x → 0，所以 sin 3x / 3x → 1。
3 × 1 = 3
▸ 3
只有 sin 里的式子与分母相同时，极限才是1。所以要乘3再除以3，把形式凑齐。
2023 韩国高考数学类题改编
limx→1 (x² + 2x − 3)/(x − 1) 的值是？
▸ ① 4
1代入 x = 1 得 0/0，所以把分子因式分解为 (x + 3)(x − 1)。
x2 + 2x - 3x - 1 = (x+3)(x-1)x-1 = x + 3
2把 x = 1 代入约分后的 x + 3。
limx→1 (x + 3) = 4
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