函数的极限

Limit of a Function

极限问的是：当 x 无限接近某个值时，函数究竟趋向何处。奇妙的是，x 根本不必真正抵达那一点，函数甚至无需在该点有定义。哪怕是一个挖空的孔洞，只要两侧逼近的值相同，极限就确实存在。拖动接近程度滑块，看看左边的蓝点和右边的橙点如何一起向那个空孔所在的 2 聚拢。

什么是极限

🎯 极限核心思想

①「x 无限接近 a 时，f(x) 趋近于何值?」

②无需实际到达 x = a — 重要的是趋势

③左极限与右极限相同时极限值才存在

接近程度 t20 %

💡 观察要点

①蓝点（左极限）与橙点（右极限）同时趋近 y=2

②f(1) 未定义（空心圆）但极限值确为 2

③(x²−1)/(x−1) 因式分解 (x+1)(x−1)/(x−1) = x+1

ε-δ 定义

ε（误差范围）1.5

极限定义（ε-δ）

lim_x→a f(x) = L

对任意 ε > 0 存在 δ > 0，使得 0 < |x − a| < δ 时 |f(x) − L| < ε

🔑 ε-δ 解读

①ε 为 y 轴方向允许的误差（橙带）

②δ 为 x 轴方向的限制范围（蓝带）

③若对任意 ε 总能找到对应 δ → 极限存在

极限的基本性质

常数 k2

极限的四则

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)

各极限均存在时（分母 ≠ 0）

常数倍

lim k·f(x) = k · lim f(x)

常数可移出极限

重要极限

三角函数基本极限

lim_x→0 sin xx = 1

弧度制下

自然指数极限

lim_x→0 e^x - 1x = 1

由自然常数 e 的定义导出

自然对数极限

lim_x→0 ln(1 + x)x = 1

由上式换元可得

总结

极限定义

lim_x→a f(x) = L ⟺ 左极限 = 右极限 = L

两侧必须收敛于同值

🎯 考试要点

①左极限 ≠ 右极限则极限不存在

②f(a) 与极限值无关 — 即使 f(a) 未定义极限仍可能存在

③0/0 形可用因式分解、分子分母有理化、洛必达

④sin x/x → 1、(e^x − 1)/x → 1 必须记忆

⑤四则需要各极限均存在

例题与真题

例题 1

求 lim_x→2 (x² − 4)/(x − 2)。

是 0/0 型，分子因式分解后约分。

x² - 4x - 2 = (x+2)(x-2)x-2 = x + 2

代入 x → 2。

lim_x→2 (x + 2) = 4

▸ 4

0/0 不定型先因式分解约分再代入。

例题 2

求 lim_x→0 (sin 3x)/x。

为用 sin x / x → 1，把分母凑成 3x。

sin 3xx = 3 × sin 3x3x

当 3x → 0，sin(3x)/(3x) → 1。

3 × 1 = 3

▸ 3

要用 lim_x→0 sin(x)/x = 1，需让分母与 sin 内式子相同。

2023 修能数学类题改编

lim_x→1 (x² + 2x − 3)/(x − 1) 的值是？

①4

②0

③2

④3

⑤极限不存在

▸ ① 4

分子因式分解：x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1)。

x² + 2x - 3x - 1 = (x+3)(x-1)x-1 = x + 3

代入 x → 1。

lim_x→1 (x + 3) = 4

函数的连续

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