高中数学函数的极限

极限问的是：当 x 无限接近某个值时，函数究竟趋向何处。奇妙的是，x 根本不必真正抵达那一点，函数甚至无需在该点有定义。哪怕是一个挖空的孔洞，只要两侧逼近的值相同，极限就确实存在。改接近程度，左边的蓝点和右边的橙点一起向那个空孔所在的 2 聚拢会对上。

什么是极限

即使你没法把数代入某一点，仍可以另问：附近的函数值会贴向哪里。这个问题就是函数的极限，也是 0/0 这种代不进去的式子仍值得整理附近值的原因。要先左右极限相同才谈极限值，是因为只看一侧时，另一侧可能停在不同高度。连续是随后拿这个极限值和 f(a) 比较的说法，所以要先核对逼近的一侧。极限的加、减、乘、除先分别求出极限再运算，除法还要求分母极限不是 0。

🎯 极限核心思想

①「x 无限接近 a 时，f(x) 趋近于何值?」

②无需实际到达 x = a — 重要的是趋势

③左极限与右极限相同时极限值才存在

④即使没有 f(a) 也可以有极限。洛必达在微积分

接近程度 t20 %

逼近图里，f(x) = (x² − 1)/(x − 1) 画成绿色曲线，x = 1 处有一个红色空心圆，高度是 2。左边有蓝点、右边有橙点落在曲线上，虚线用 x = 1 和 y = 2 标出那个孔。接近程度 t 从 0 % 到 95%，t 越大，两点就越靠近孔的位置重画。中间那幅是 f(x) = 2x，极限是 x → 2 时为 4。橙色带是 L = 4 周围的 ε，蓝色带是 a = 2 周围的 δ，这条直线上配成 δ = ε/2。 ε 从 0.3 到 3.0。下图叠着绿色 f(x) = x²/3 和橙色 k · f(x)，说明常数倍，k 从 0.5 到 3.0。

💡 观察要点

①蓝点（左极限）与橙点（右极限）同时趋近 y=2

②f(1) 未定义（空心圆）但极限值确为 2

③(x²−1)/(x−1) 因式分解 (x+1)(x−1)/(x−1) = x+1

ε-δ 定义（拓展）

你很容易只看见红色空心圆，就断定没有极限。那个空心圆只表示 x = 1 处函数值是空的，和「没有极限」不是同一句话。这幅图里蓝点和橙点都朝同一高度 2 换位置，所以即使有孔，极限候选仍可以是一个。反过来，有 f(a) 的数，也不等于那个数就是极限。左右停在不同高度时，即使有函数值也没有极限，这时连续也不成立。对 0/0 的形式直接代入目标值，式子会垮，所以先看有没有能约掉的因式。

ε（误差范围）1.5

极限定义（ε-δ）

lim_x→a f(x) = L

对任意 ε > 0 存在 δ > 0，使得 0 < |x − a| < δ 时 |f(x) − L| < ε

🔑 ε-δ 解读

①ε 为 y 轴方向允许的误差（橙带）

②δ 为 x 轴方向的限制范围（蓝带）

③若对任意 ε 总能找到对应 δ → 极限存在

极限的基本性质

常数 k2

极限的四则

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)

各极限均存在时（分母 ≠ 0）

常数倍

lim k·f(x) = k · lim f(x)

常数可移出极限

重要极限

三角函数基本极限

lim_x→0 sin xx = 1

微积分范围。弧度制。不是数学II考试必记

自然指数极限

lim_x→0 e^x - 1x = 1

微积分范围。由自然常数 e 的定义导出

自然对数极限

lim_x→0 ln(1 + x)x = 1

微积分范围。由上式换元可得

总结

极限定义

lim_x→a f(x) = L ⟺ 左极限 = 右极限 = L

两侧必须收敛于同值

🎯 考试要点

①左极限 ≠ 右极限则极限不存在

②f(a) 与极限值无关 — 即使 f(a) 未定义极限仍可能存在

③0/0 形可用因式分解、分子分母有理化、洛必达

④sin x/x → 1、(e^x − 1)/x → 1 必须记忆

⑤四则需要各极限均存在

例题与真题

例题 1

求 lim_x→2 (x² − 4)/(x − 2)。

是 0/0 型，分子因式分解后约分。

x² - 4x - 2 = (x+2)(x-2)x-2 = x + 2

代入 x → 2。

lim_x→2 (x + 2) = 4

▸ 4

0/0 不定型先因式分解约分再代入。

例题 2

求 lim_x→0 (sin 3x)/x。

为用 sin x / x → 1，把分母凑成 3x。

sin 3xx = 3 × sin 3x3x

当 3x → 0，sin(3x)/(3x) → 1。

3 × 1 = 3

▸ 3

要用 lim_x→0 sin(x)/x = 1，需让分母与 sin 内式子相同。

高考题型

lim_x→1 (x² + 2x − 3)/(x − 1) 的值是？

①4

②0

③2

④3

⑤极限不存在

▸ ① 4

分子因式分解：x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1)。

x² + 2x - 3x - 1 = (x+3)(x-1)x-1 = x + 3

代入 x → 1。

lim_x→1 (x + 3) = 4

高中数学 函数的极限