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高中二~高中三年级 (16-18岁)

高中数学 导数与导函数

求导是衡量函数在某一瞬间变化得有多快的方法。 从连接两点的割线斜率，也就是平均变化率出发，把两点之间的距离缩小到0，就得到在一点处与曲线相切的切线斜率，也就是瞬时变化率。 这样得到的切线斜率就是该点处的导数，把每个 x 与它的导数对应起来的函数就是导函数。 在第一幅图中减小 Δx，蓝色割线逐渐与橙色切线重合；在第二幅图中，可以在同一个 x 处比较上方的 f(x) 和下方的导函数 f'(x)。

导数的思想

💡 什么是求导
①求某一瞬间的变化率
②在平均变化率（割线斜率）中令 Δx → 0，就得到瞬时变化率（切线斜率）
③所以能准确求出曲线上某一点处的斜率
④可导必连续，但反过来不成立：y = |x| 在 x = 0 处连续，但那里是尖点，不可导

从割线到切线

1
1.5
导数的定义
f'(a) = limΔx→0 f(a + Δx) - f(a)Δx
x = a 处的瞬时变化率，也就是切线的斜率
🔑 割线变成切线的过程
①割线是经过曲线上两点的直线，它的斜率是平均变化率
②对 f(x) = x²，割线斜率是 2a + Δx
③令 Δx → 0，割线斜率趋近于 2a，这就是切线斜率 f'(a)

基本求导公式

幂函数的导数
(xn)' = nxn-1
这里 n 是正整数；实数指数的情形后面再学
常数倍、和、差的导数
(cf)' = cf', (f ± g)' = f' ± g'
常数倍提到外面，和与差分别求导
积的求导法则
(fg)' = f'g + fg'
前导后不导，加上前不导后导
商的求导法则
(fg)' = f'g - fg'g²
（分子的导数 × 分母 − 分子 × 分母的导数）÷ 分母的平方，后面再学

导函数的意义

0
💡 f(x) 与 f'(x) 的关系
①f'(x) > 0 时，f(x) 处在递增区间
②f'(x) < 0 时，f(x) 处在递减区间
③使 f'(x) = 0 的点是极大值或极小值的候选点，图中就是 x = ±1

总结

导数
f'(a) = limh→0 f(a+h) - f(a)h
点 a 处切线的斜率
🎯 考试要点
①可导必连续，反之不成立（y = |x| 在 x = 0 处不可导）
②(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ 是多项式求导的基础
③积的导数是 f'g + fg'
④f'(a) = 0 的点是否为极值，要看符号是否改变
⑤切线方程为 y − f(a) = f'(a)(x − a)

例题与真题

例题 1
当 f(x) = x²，用导数定义求 f'(2)。
1
把 a = 2 代入导数的定义。
f'(2) = limh→0 (2+h)2 - 22h
2
(2 + h)² − 4 = 4h + h²，约去 h 后再令 h → 0。
= limh→0 4h + h2h = limh→0 (4 + h) = 4
▸ f'(2) = 4
约分之前分母为0，不能直接代入 h = 0。先化成 4 + h 再求极限，这就是用定义求导数的方法。
例题 2
求 f(x) = x³ − 2x² + 5 的导函数 f'(x)。
1
对每一项使用 (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹。
(x3)' = 3x2, (2x2)' = 4x, (5)' = 0
2
把各项的导数相加；常数5的导数是0。
f'(x) = 3x2 - 4x
▸ f'(x) = 3x² − 4x
常数项只把图像上下平移，不改变斜率，所以求导后就消失了。
2023 韩国高考数学类题改编
对 f(x) = x² + 3x，x = 1 处的导数 f'(1) 是多少？
①5
②4
③2
④3
⑤8
▸ ① 5
1
求出导函数 f'(x) = 2x + 3。
f'(x) = (x2)' + (3x)' = 2x + 3
2
代入 x = 1。
f'(1) = 2(1) + 3 = 5
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