导数与导函数

Derivative and Differentiation

微分就是精确捕捉「此刻函数变化有多快」的工具。先从穿过两点的割线斜率（平均变化率）出发，再把两点间的间距缩向零，它就变成轻轻擦过曲线的切线斜率（瞬时变化率）。这条切线的斜率，正是该点的导数。缩小 Δx 滑块，看看蓝色割线滑到与橙色切线恰好重合的那一刻。

微分的核心思想

💡 何为微分?

①求「瞬时变化率」

②由平均变化率（割线斜率）令 Δx → 0 → 瞬时变化率（切线斜率）

③精确得到曲线上某点的斜率

从割线到切线

a 的位置1

Δx（间距）1.5

导数的定义

f'(a) = lim_Δx→0 f(a + Δx) - f(a)Δx

x = a 的瞬时变化率 = 切线斜率

🔑 割线 → 切线

①割线：过两点的直线 → 平均变化率

②Δx 减小时第二点逼近第一点

③Δx → 0 极限：割线变为切线 → 瞬时变化率

基本求导公式

幂函数求导

(xⁿ)' = nx^n-1

对实数 n 成立 — 微分的基础

常数倍·和·差

(cf)' = cf', (f ± g)' = f' ± g'

常数提出、和差分项

乘积法则

(fg)' = f'g + fg'

前导后保持 + 前保持后导

商法则

(fg)' = f'g - fg'g²

(分子导 × 分母 − 分子 × 分母导) / 分母平方

导函数的意义

x 位置0

💡 f(x) 与 f'(x) 的关系

①f'(x) > 0 → f(x) 增

②f'(x) < 0 → f(x) 减

③f'(x) = 0 → 极大或极小候选

总结

导数

f'(a) = lim_h→0 f(a+h) - f(a)h

点 a 处切线斜率

🎯 考试要点

①可导 → 连续（反之不真：|x| 在 x=0 连续但不可导）

②(x^n)' = nx^{n-1} 为基础

③乘积法则：f'g + fg'

④f'(a) = 0 处看符号变化判极值

⑤切线方程：y − f(a) = f'(a)(x − a)

例题与真题

例题 1

当 f(x) = x²，用导数定义求 f'(2)。

代入定义：f'(2) = lim_h→0 [f(2+h) − f(2)]/h。

f'(2) = lim_h→0 (2+h)² - 2²h

展开约分后令 h → 0。

= lim_h→0 4h + h²h = lim_h→0 (4 + h) = 4

▸ f'(2) = 4

导数是切线斜率，定义是平均变化率的极限。

例题 2

求 f(x) = x³ − 2x² + 5 的导函数 f'(x)。

对各项用幂的求导 (xⁿ)' = nx^n-1。

(x³)' = 3x², (2x²)' = 4x, (5)' = 0

逐项合并。

f'(x) = 3x² - 4x

▸ f'(x) = 3x² − 4x

多项式逐项用幂的求导(常数的导数为 0)。

2023 修能数学类题改编

对 f(x) = x² + 3x，x = 1 处的导数 f'(1) 是多少？

①5

②4

③2

④3

⑤8

▸ ① 5

求导函数：f'(x) = 2x + 3。

f'(x) = (x²)' + (3x)' = 2x + 3

代入 x = 1。

f'(1) = 2(1) + 3 = 5