数学Ⅱ›微分

导数与导函数

Derivative and Differentiation

微分的核心思想

💡 何为微分?

①求「瞬时变化率」

②由平均变化率（割线斜率）令 Δx → 0 → 瞬时变化率（切线斜率）

③精确得到曲线上某点的斜率

从割线到切线

a 的位置1

Δx（间距）1.5

导数的定义

f'(a) = lim_Δx→0 f(a + Δx) - f(a)Δx

x = a 的瞬时变化率 = 切线斜率

🔑 割线 → 切线

①割线：过两点的直线 → 平均变化率

②Δx 减小时第二点逼近第一点

③Δx → 0 极限：割线变为切线 → 瞬时变化率

基本求导公式

幂函数求导

(xⁿ)' = nx^n-1

对实数 n 成立 — 微分的基础

常数倍·和·差

(cf)' = cf', (f ± g)' = f' ± g'

常数提出、和差分项

乘积法则

(fg)' = f'g + fg'

前导后保持 + 前保持后导

商法则

(fg)' = f'g - fg'g²

(分子导 × 分母 − 分子 × 分母导) / 分母平方

导函数的意义

x 位置0

💡 f(x) 与 f'(x) 的关系

①f'(x) > 0 → f(x) 增

②f'(x) < 0 → f(x) 减

③f'(x) = 0 → 极大或极小候选

总结

导数

f'(a) = lim_h→0 f(a+h) - f(a)h

点 a 处切线斜率

🎯 考试要点

①可导 → 连续（反之不真：|x| 在 x=0 连续但不可导）

②(x^n)' = nx^{n-1} 为基础

③乘积法则：f'g + fg'

④f'(a) = 0 处看符号变化判极值

⑤切线方程：y − f(a) = f'(a)(x − a)