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高中二年级 (16-17岁)

高中数学 三角函数

三角函数从一个在半径为1的单位圆上转动的点出发：转过角 θ 后，点的横坐标是余弦，纵坐标是正弦，纵坐标除以横坐标是正切。 这样，原本只用于直角三角形锐角的三角比，就可以对任意角定义，而函数值的正负由点所在的象限决定。 仅凭半径为1这一点，就能直接得到 sin²θ + cos²θ = 1。 在第一幅图中改变角，点沿着圆转动，红线（cos）和蓝线（sin）的长度随之变化；第二幅图汇集了特殊角的位置。

单位圆上的点：sin、cos 的定义

45°
💡 单位圆是三角函数的起点
①在半径为1的圆上转过角 θ 后的点是 P(cos θ, sin θ)
②cos θ 是横坐标（红线），sin θ 是纵坐标（蓝线）
③在横坐标或纵坐标为负的象限里，cos θ 或 sin θ 也是负的
④θ = 90°、270° 时 cos θ = 0，所以 tan θ 无定义

特殊角的三角函数值

30°和60°的三角比
sin 30° = 12, cos 30° = √32, tan 30° = 1√3
三个角为30°、60°、90°的直角三角形，三边之比为 1 : √3 : 2
45°的三角比
sin 45° = √22, cos 45° = √22, tan 45° = 1
把正方形沿对角线切开得到的直角三角形，三边之比为 1 : 1 : √2

三角函数之间的基本关系

平方关系
sin²θ + cos²θ = 1
点 P(cos θ, sin θ) 在半径为1的圆上，所以 x² + y² = 1
正切的定义
tan θ = sin θcos θ
等于连接原点与点 P 的半径的斜率 y/x
倒数关系
sec θ = 1cos θ, csc θ = 1sin θ, cot θ = 1tan θ
三个三角函数的倒数也各有名称

各象限的符号

📐 象限与符号
①第一象限（0° < θ < 90°）：sin、cos、tan 都为正
②第二象限（90° < θ < 180°）：只有 sin 为正
③第三象限（180° < θ < 270°）：只有 tan 为正
④第四象限（270° < θ < 360°）：只有 cos 为正
⑤口诀是“一全正、二正弦、三正切、四余弦”

总结

三角函数的核心
sin²θ + cos²θ = 1, tan θ = sin θcos θ
所有三角函数都由单位圆上的一个点来定义
🎯 考试要点
①单位圆上 P(cos θ, sin θ)
②特殊角30°、45°、60°的三角比
③sin²θ + cos²θ = 1
④各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦
⑤tan θ = sin θ / cos θ 在 cos θ = 0 时无定义

例题与真题

例题 1
若 sin θ = 3/5 且 θ 在第一象限，求 cos θ。
1
由 sin²θ + cos²θ = 1 求出 cos²θ。
cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (3/5)² = 16/25
2
在第一象限 cos θ > 0，所以取正的平方根。
cos θ = √(16/25) = 4/5
▸ cos θ = 4/5
想象一个斜边为5、高为3的直角三角形，底边是4，所以 cos θ = 4/5。用恒等式求大小，用象限定符号。
例题 2
若 tan θ = 1 且 θ 在第三象限，求 sin θ。
1
tan θ = 1，所以参考角是45°，第三象限的角是225°。
θ = 180° + 45° = 225°
2
在第三象限 sin θ < 0，所以 sin 225° = −sin 45°。
sin θ = -√22
▸ sin θ = −√2/2
第三象限的点横坐标和纵坐标都是负数，它们的比 tan θ 就是正数。所以 tan θ = 1 在第三象限也可能成立。
2023 韩国高考数学类题改编
若 cos θ = −1/2 且 0° < θ < 180°，求 θ。
①60°
②120°
③135°
④150°
⑤240°
▸ ② 120°
1
cos 60° = 1/2，所以参考角是60°。
cos 60° = 12
2
在 0° < θ < 180° 中 cos θ < 0 的是第二象限，所以 θ = 180° − 60°。
θ = 180° - 60° = 120°
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