三角函数

Trigonometric Functions

三角函数从半径为 1 的单位圆上转动的点出发，转过一定角度后，点的 x 坐标是余弦，y 坐标是正弦，两者之比是正切。这样就能超越直角三角形，为任意角度定义三角比，而点落在哪个象限决定了值的正负。仅凭半径为 1 这一点，就自然得到 sin²θ + cos²θ = 1 的关系。本页可用角度滑块转动点，直观看到正弦与余弦的变化，以及特殊角的值和各象限的符号。

单位圆上的点 — sin, cos 的定义

角度 θ45°

💡 单位圆是三角函数的出发点

①半径为 1 的圆上点 P(cos θ, sin θ)

②cos θ = x 坐标（红），sin θ = y 坐标（蓝）

③角度变化时点沿圆周旋转

特殊角的三角函数值

30°-60°-90° 三角比

sin 30° = 12, cos 30° = √32, tan 30° = 1√3

边长比 1 : √3 : 2

45° 三角比

sin 45° = √22, cos 45° = √22, tan 45° = 1

由正方形对角线构成的直角三角形

三角函数的基本关系

勾股恒等式

sin²θ + cos²θ = 1

单位圆半径为 1 即 x² + y² = 1

正切定义

tan θ = sin θcos θ

斜率 = y/x

倒数关系

sec θ = 1cos θ, csc θ = 1sin θ, cot θ = 1tan θ

各三角函数的倒数

各象限的符号

📐 象限与符号 — ASTC 法则

①第1象限（0°~90°）: sin+, cos+, tan+ (All)

②第2象限（90°~180°）: sin+, cos-, tan- (Sin)

③第3象限（180°~270°）: sin-, cos-, tan+ (Tan)

④第4象限（270°~360°）: sin-, cos+, tan- (Cos)

总结

三角函数核心

sin²θ + cos²θ = 1, tan θ = sin θcos θ

所有三角函数在单位圆上定义

🎯 考试要点

①单位圆定义：P(cos θ, sin θ)

②牢记 30°, 45°, 60° 三角比

③勾股恒等式：sin²θ + cos²θ = 1

④各象限符号 ASTC 法则

⑤tan θ = sin θ / cos θ（cos θ = 0 时未定义）

例题与真题

例题 1

若 sin θ = 3/5 且 θ 在第一象限，求 cos θ。

利用毕达哥拉斯恒等式 sin²θ + cos²θ = 1。

cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (3/5)² = 16/25

第一象限中 cos θ > 0，取正平方根。

cos θ = √(16/25) = 4/5

▸ cos θ = 4/5

用恒等式求另一值，再由象限确定符号。

例题 2

若 tan θ = 1 且 θ 在第三象限，求 sin θ。

tan θ = 1 得基准角 45°，第三象限的角是 225°。

θ = 180° + 45° = 225°

第三象限中 sin θ < 0，所以 sin 225° = −sin 45°。

sin θ = -√22

▸ sin θ = −√2/2

先求基准角的三角比，再按象限(ASTC)加符号。

2023 修能数学类题改编

若 cos θ = −1/2 且 0° < θ < 180°，求 θ。

①60°

②120°

③135°

④150°

⑤240°

▸ ② 120°

cos θ = −1/2 得基准角 60°。

cos 60° = 12

在 0°<θ<180° 内 cos θ < 0 是第二象限，所以 θ = 180° − 60°。

θ = 180° - 60° = 120°