三角函数图象

Graphs of Trigonometric Functions

三角函数的图象是同一形状无穷反复的波纹。圆周上转动的点的高度正好画出正弦曲线，所以特别适合描述像摆、波浪、声音这样周期性重复的现象。式子前面的系数决定波的高度（振幅），乘在 x 上的数决定重复得有多快（周期），加上的常数则把图象上下、左右平移。本页可用滑块改变振幅、周期和平移量，观察曲线如何变化。

sin, cos, tan 的基本图象

💡 三函数核心差异

①sin x：关于原点对称（奇函数），周期 2π

②cos x：关于 y 轴对称（偶函数），周期 2π

③tan x：关于原点对称（奇函数），周期 π，有渐近线

振幅与周期调节

振幅 A1

周期6.28

相位 C0

垂直平移 D0

周期与振幅公式

一般形

y = A sin(Bx + C) + D

A=振幅、2π/B=周期、-C/B=相位平移、D=垂直平移

周期公式

周期 T = 2π|B|

B 越大周期越短（振动越快）

📐 各参数的作用

①A（振幅）：纵向缩放

②B（角频率）：决定周期（T = 2π/|B|）

③C（相位）：左右平移

④D（垂直平移）：中心线位置

总结

三角函数图象核心

y = A sin(Bx + C) + D → 振幅 |A|，周期 2π|B|

四个参数描述所有正弦波

🎯 考试要点

①sin, cos 周期 2π；tan 周期 π

②振幅 |A|、周期 2π/|B| 必记

③相位：−C/B 方向

④最大 A + D，最小 -A + D

⑤sin 与 cos：cos x = sin(x + π/2)

例题与真题

例题 1

求函数 y = 3 sin 2x 的振幅与周期。

一般式 y = A sin(Bx) 中振幅为 |A|。

振幅 = |A| = |3| = 3

周期用 2π/|B| 求。

周期 = 2π|2| = π

▸ 振幅 3, 周期 π

振幅取 |A|，周期取 2π/|B|，直接读出。

例题 2

求函数 y = 2 cos x + 1 的最大值与最小值。

cos x 的取值范围是 −1 ≤ cos x ≤ 1。

-1 ≤ cos x ≤ 1

代入两端值求最大、最小。

最大值 = 2(1)+1 = 3, 最小值 = 2(-1)+1 = -1

▸ 最大值 3, 最小值 −1

最大值 = |A| + D，最小值 = −|A| + D，直接求。

2022 评价院模考数学类题改编

函数 y = 4 sin(2x − π) + 1 的周期与最大值是？

①周期 π, 最大值 5

②周期 2π, 最大值 5

③周期 π, 最大值 4

④周期 π/2, 最大值 5

⑤周期 2π, 最大值 4

▸ ① 周期 π, 最大值 5

周期是 2π/|B|，此处 B = 2。

周期 = 2π2 = π

最大值是 |A| + D。

最大值 = |4| + 1 = 5