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高中二年级 (16-17岁)

高中数学 三角函数图象

三角函数的图像是同一形状按固定间隔无限重复的波形。 沿单位圆转动的点，它的高度描出的就是正弦曲线，所以它很适合描述单摆、海浪、声音这类周期性重复的现象。 在 y = A sin(Bx + C) + D 中，A 决定波的高度即振幅，B 决定重复一次的长度即周期，C 和 D 把图像左右、上下平移。 第一幅图比较 sin、cos、tan 的形状；第二幅图中改变四个数，可以看到曲线被拉伸、压缩和平移。

sin、cos、tan 的基本图像

💡 三个函数的区别
①y = sin x 关于原点对称，周期为 2π
②y = cos x 关于 y 轴对称，周期为 2π，是把 y = sin x 向左平移 π/2 得到的
③y = tan x 关于原点对称，周期为 π，在 x = π/2 + nπ 处有渐近线
④sin 与 cos 的值在 −1 与1之间，而 tan 可以取一切实数

振幅、周期与平移

1
6.28
0
0

周期与振幅公式

一般形
y = A sin(Bx + C) + D
振幅 |A|，周期 2π/|B|，左右平移 −C/B，上下平移 D
周期公式
周期 T = 2π|B|
|B| 越大，周期越短，波越密
📐 四个数各自的作用
①A：决定波的高度（振幅 |A|），为负数时图像上下翻转
②B：决定周期 2π/|B|
③C：把图像沿 x 轴方向平移 −C/B
④D：把中线上下移到 y = D

总结

三角函数图象核心
y = A sin(Bx + C) + D → 振幅 |A|，周期 2π|B|
用 A、B、C、D 四个数确定正弦曲线的高度、间隔和位置
🎯 考试要点
①sin、cos 的周期为 2π，tan 的周期为 π
②y = A sin(Bx + C) + D 的振幅为 |A|，周期为 2π/|B|
③因为 Bx + C = B(x + C/B)，左右平移量是 −C/B
④最大值为 |A| + D，最小值为 −|A| + D
⑤cos x = sin(x + π/2)

例题与真题

例题 1
求函数 y = 3 sin 2x 的振幅与周期。
1
在 y = A sin Bx 的形式中，振幅是 |A|，即3。
振幅 = |A| = |3| = 3
2
周期是 2π/|B|，这里 B = 2。
周期 = 2π|2| = π
▸ 振幅 3，周期 π
x 乘以2，同样的波以两倍的速度经过，所以周期减半为 π。振幅由前面的3决定。
例题 2
求函数 y = 2 cos x + 1 的最大值与最小值。
1
cos x 的取值在 −1 到1之间。
-1 ≤ cos x ≤ 1
2
代入两端的值1和 −1，求出最大值和最小值。
最大值 = 2(1)+1 = 3, 最小值 = 2(-1)+1 = -1
▸ 最大值 3，最小值 −1
2把波的高度变为两倍，+ 1 把中线上移1。所以最大值是 2 + 1，最小值是 −2 + 1。
2022 评价院模考数学类题改编
函数 y = 4 sin(2x − π) + 1 的周期与最大值是？
①周期 π, 最大值 5
②周期 2π, 最大值 5
③周期 π, 最大值 4
④周期 π/2，最大值 5
⑤周期 2π, 最大值 4
▸ ① 周期 π, 最大值 5
1
周期是 2π/|B|，这里 B = 2。
周期 = 2π2 = π
2
最大值是 |A| + D，这里 A = 4，D = 1。
最大值 = |4| + 1 = 5
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