数学Ⅰ›三角函数

三角函数的应用

Applications of Trigonometry

正弦定理 — 与外接圆的关系
50°
正弦定理
asin A = bsin B = csin C = 2R
各边除以对角正弦均等于外接圆直径
💡 正弦定理核心
①「边/对角正弦」恒等于外接圆直径 2R
②已知 2 角与 1 边可求其余
③面积：S = (1/2)ab sin C
余弦定理 — 推广的勾股
4
3
60°
余弦定理
c² = a² + b² - 2ab cos C
C = 90° 时退化为勾股定理
三角形面积
面积公式（两边＋夹角）
S = 12 ab sin C
由两边及夹角求面积
海伦公式
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = a+b+c2
仅由三边求面积
📐 用哪个公式?
①两边＋夹角 → S = (1/2)ab sin C
②仅三边 → 海伦公式
③一边＋两端角 → 先正弦定理再求面积
实际应用
🌍 三角函数的应用场景
①测量：建筑物·山高
②航海：两点间距离
③物理：力的分解、向量合成
④建筑：屋顶坡度、结构设计
总结
正弦定理
asin A = bsin B = csin C = 2R
边/对角正弦 = 外接圆直径
余弦定理
c² = a² + b² - 2ab cos C
勾股定理的推广
🎯 考试要点
①正弦定理：角-边对应（ASA, AAS）
②余弦定理：两边＋夹角 或 三边（SAS, SSS）
③面积：S = (1/2)ab sin C
④C = 90° 时 cos C = 0 → 勾股
⑤正弦定理可求外接圆半径 R