三角函数的应用

Applications of Trigonometry

三角形的边与角彼此关联，只要知道其中几个就能求出其余。正弦定理指出各边除以对角正弦都等于外接圆直径 2R，余弦定理 c² = a² + b² − 2ab cos C 则是勾股定理的推广，夹角为直角时便退回勾股定理。再加上面积公式 S = (1/2)ab sin C，就能算出像测量、航海中那样无法直接量取的距离和角度。在本页可以用滑块改变顶点、边长和夹角，看看两条定理如何确定一个三角形。

正弦定理 — 与外接圆的关系

顶点 A 的位置50°

正弦定理

asin A = bsin B = csin C = 2R

各边除以对角正弦均等于外接圆直径

💡 正弦定理核心

①「边/对角正弦」恒等于外接圆直径 2R

②已知 2 角与 1 边可求其余

③面积：S = (1/2)ab sin C

余弦定理 — 推广的勾股

边 a4

边 b3

夹角 C60°

余弦定理

c² = a² + b² - 2ab cos C

C = 90° 时退化为勾股定理

三角形面积

面积公式（两边＋夹角）

S = 12 ab sin C

由两边及夹角求面积

海伦公式

S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = a+b+c2

仅由三边求面积

📐 用哪个公式?

①两边＋夹角 → S = (1/2)ab sin C

②仅三边 → 海伦公式

③一边＋两端角 → 先正弦定理再求面积

实际应用

🌍 三角函数的应用场景

①测量：建筑物·山高

②航海：两点间距离

③物理：力的分解、向量合成

④建筑：屋顶坡度、结构设计

总结

正弦定理

asin A = bsin B = csin C = 2R

边/对角正弦 = 外接圆直径

余弦定理

c² = a² + b² - 2ab cos C

勾股定理的推广

🎯 考试要点

①正弦定理：角-边对应（ASA, AAS）

②余弦定理：两边＋夹角或三边（SAS, SSS）

③面积：S = (1/2)ab sin C

④C = 90° 时 cos C = 0 → 勾股

⑤正弦定理可求外接圆半径 R

例题与真题

例题 1

在三角形 ABC 中 a = 8, sin A = 1/2，求外接圆半径 R。

由正弦定理 a/sin A = 2R。

2R = asin A = 81/2

计算求 R。

2R = 16, R = 8

▸ R = 8

用正弦定理 a/sin A = 2R 求外接圆半径。

例题 2

已知两边 a = 5, b = 3 与夹角 C = 60°，用余弦定理求边 c。

代入余弦定理 c² = a² + b² − 2ab cos C。

c² = 5² + 3² - 2(5)(3) cos 60°

代入 cos 60° = 1/2 计算。

c² = 25 + 9 - 30 × 12 = 19, c = √19

▸ c = √19

已知两边及夹角，用余弦定理求第三边。

2023 修能数学类题改编

两边 a = 4, b = 6 且夹角 C = 30° 的三角形面积是？

①6

②12

③6√3

④3

⑤12√3

▸ ① 6

代入面积公式 S = (1/2)ab sin C。

S = 12 × 4 × 6 × sin 30°

代入 sin 30° = 1/2。

S = 12 × 12 = 6