三角形的三条边和三个角彼此相连，只要知道其中几个，就能算出其余的。
正弦定理说的是：每条边除以它所对角的正弦，结果都等于外接圆的直径 2R；余弦定理 c² = a² + b² − 2ab cos C 在夹角为直角时就变成勾股定理。
再加上面积公式 S = (1/2)ab sin C，像测量、航海中那些无法直接测量的距离和角度也都能求出来。
第一幅图画出直径 BA′，可以看出为什么 a = 2R sin A；在第二幅图中，每次改变两边或夹角，第三边 c 都会重新计算。
正弦定理：外接圆的直径
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半径为5的外接圆上的三角形 ABC 与直径 BA′；∠A′ = ∠A，且 ∠BCA′ = 90°
50°
正弦定理
asin A = bsin B = csin C = 2R
每条边除以所对角的正弦，都等于外接圆的直径
💡 为什么 a = 2R sin A
①从 B 过圆心作直径 BA′，半圆所对的圆周角是直角，所以 ∠BCA′ = 90°
②同弧 BC 所对的圆周角相等，所以 ∠A′ = ∠A
③在直角三角形 A′BC 中，BC = BA′ × sin A′，于是 a = 2R sin A
④角 A 为钝角时 ∠A′ = 180° − A，但正弦值相同，所以同一个式子仍然成立
余弦定理：推广到所有三角形的勾股定理
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由两边 a、b 及夹角 C 求第三边 c 的三角形
4
3
60°
余弦定理
c² = a² + b² − 2ab cos C
C = 90° 时 cos C = 0，就成为勾股定理
三角形面积
用两边及夹角求面积
S = 12 ab sin C
以边 a 为底，高是 b sin C，所以面积是 (1/2) × a × b sin C
海伦公式
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = a+b+c2
只知道三边长时使用
📐 该用哪个公式
①已知两边及夹角：S = (1/2)ab sin C
②只知三边：先用余弦定理求一个角的余弦再求面积，或用海伦公式
③已知一边及两端的两个角：先用正弦定理求出另一边，再求面积
生活中的应用
🌍 三角函数的应用场景
①测量：用角度和距离测出无法攀登的建筑或山的高度
②航海：根据在两个地点测得的方向，求出船的位置和距离
③物理：把力分解到两个方向，或把几个力合成一个
④建筑：确定屋顶坡度和构件长度
总结
正弦定理
asin A = bsin B = csin C = 2R
边 ÷ 所对角的正弦 = 外接圆的直径
余弦定理
c² = a² + b² − 2ab cos C
把勾股定理推广到所有三角形
🎯 考试要点
①正弦定理：已知两角一边，或求外接圆半径时
②余弦定理：已知两边及夹角，或已知三边时
③面积 S = (1/2)ab sin C
④C = 90° 时 cos C = 0，就成为勾股定理
⑤由 a/sin A = 2R 求外接圆半径 R
例题与真题
例题 1
在三角形 ABC 中 a = 8, sin A = 1/2，求外接圆半径 R。
1
由正弦定理，a/sin A 等于外接圆的直径 2R。
2R = asin A = 81/2
2
8除以1/2得16，所以 2R = 16。
2R = 16, R = 8
▸ R = 8
sin A = 1/2 时，A 是30°或150°，但无论哪种，外接圆半径都是8。正弦定理不论角是锐角还是钝角都成立。
例题 2
已知两边 a = 5, b = 3 与夹角 C = 60°，用余弦定理求边 c。
1
已知两边及其夹角，所以用余弦定理。
c² = 5² + 3² - 2(5)(3) cos 60°
2
cos 60° = 1/2，所以减去 2 × 5 × 3 × 1/2 = 15。
c² = 25 + 9 - 30 × 12 = 19, c = √19
▸ c = √19
C 小于90°时，c² 小于 a² + b²；C 大于90°时，c² 大于 a² + b²。差别来自 cos C 的符号。